Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) Делится без остатка на 5, 2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами задуманного числа, 4) Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 4. Какое число задумал Раил?

Давайте разберёмся с задачей и решим её шаг за шагом. Нам нужно найти четырёхзначное число, обладающее указанными свойствами.

Обозначим четырёхзначное число как \( ABCD \), где \( A \) — цифра в разряде тысяч, \( B \) — в разряде сотен, \( C \) — в разряде десятков, \( D \) — в разряде единиц.

Теперь рассмотрим свойства:

1. Делится на 5: Это означает, что последняя цифра \( D \) может быть либо 0, либо 5.

2. Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков: Это можно записать как \( B = \frac{C}{2} \). Следовательно, \( C \) должна быть чётной, и это ограничивает различные значения \( C \) до 0, 2, 4, 6, 8.

3. Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами: Это можно записать как: \[ A + D = \frac{1}{4}(10B + C) \]

4. Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 4: Это означает, что \( A = B + 4 \).

Теперь давайте разберёмся с этими уравнениями.

Свойства 2 и 4:

Из \( A = B + 4 \) и \( B = \frac{C}{2} \) следует, что: \[ A = \frac{C}{2} + 4 \]

Так как \( A \) должна быть цифрой от 1 до 9, \( \frac{C}{2} + 4 \) также должно быть в этом диапазоне. Анализируя возможные значения \( C \):

• Если \( C = 0 \): \( A = 4 \) (не подходит, так как \( C \) не может быть 0).
• Если \( C = 2 \): \( A = 4 \), тогда \( B = 1 \).
• Если \( C = 4 \): \( A = 6 \), тогда \( B = 2 \).
• Если \( C = 6 \): \( A = 7 \), тогда \( B = 3 \).
• Если \( C = 8 \): \( A = 8 \), тогда \( B = 4 \).

Таким образом, возможные пары \((A, B, C)\):

• (4, 1, 2)
• (6, 2, 4)
• (7, 3, 6)
• (8, 4, 8)

Теперь подставим эти значения в третье условие.

Проверяем третье свойство:

1. Для \( (4, 1, 2) \): \[ A + D = \frac{1}{4}(10 \cdot 1 + 2) \rightarrow 4 + D = 3 \] \( D = -1 \) (не подходит).

2. Для \( (6, 2, 4) \): \[ A + D = \frac{1}{4}(10 \cdot 2 + 4) \rightarrow 6 + D = 6 \] \( D = 0 \) (подходит, число 6240).

3. Для \( (7, 3, 6) \): \[ A + D = \frac{1}{4}(10 \cdot 3 + 6) \rightarrow 7 + D = 9 \] \( D = 2 \) (подходит, число 7362).

4. Для \( (8, 4, 8) \): \[ A + D = \frac{1}{4}(10 \cdot 4 + 8) \rightarrow 8 + D = 12 \] \( D = 4 \) (подходит, число 8484).

Теперь проверяем делимость на 5:

• 6240 делится на 5 (да).
• 7362 не делится на 5 (нет).
• 8484 не делится на 5 (нет).

Таким образом, единственное подходящее число — это 6240.

Итак, Раил задумал число 6240.