Найдите: а) стороны двух квадратов, если сумма их площадей равна 25 дм², а произведение длин этих сторон равно 12 дм², 6) площадь прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза, равная 13 см, возрастет на 4 см при увеличении каждого катета на 3 см.

Давайте разберем оба задания по порядку.

1. Найдите стороны квадратов.

Обозначим длины сторон двух квадратов как \( x \) и \( y \).

У нас есть два условия:

1. Сумма площадей квадратов равна 25 дм²: \( x^2 + y^2 = 25 \).
2. Произведение длин сторон равно 12 дм²: \( x \cdot y = 12 \).

Теперь можем выразить \( y \) через \( x \) с помощью второго уравнения: \[ y = \frac{12}{x}. \]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25. \]

После упрощения получаем: \[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25. \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0. \]

Обозначим \( z = x^2 \), тогда уравнение становится: \[ z^2 - 25z + 144 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение по формуле: \[ z = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2}. \]

Таким образом, получаем два значения:

1. \( z_1 = \frac{32}{2} = 16 \) (т.е. \( x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \)).
2. \( z_2 = \frac{18}{2} = 9 \) (т.е. \( y^2 = 9 \Rightarrow y = 3 \)).

Таким образом, длины сторон квадратов равны 4 дм и 3 дм.

2. Площадь прямоугольного треугольника.

Дано, что гипотенуза равна 13 см и увеличивается на 4 см при увеличении каждого катета на 3 см.

Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Тогда после увеличения получим:

• Гипотенуза: \( \sqrt{(a + 3)^2 + (b + 3)^2} = 17 \).

Сначала запишем теорему Пифагора для исходного треугольника: \[ a^2 + b^2 = 13^2 = 169. \]

Теперь составим уравнение для нового гипотенузы: \[ (a + 3)^2 + (b + 3)^2 = 17^2 = 289. \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + 6a + 9 + b^2 + 6b + 9 = 289. \]

Сложим и упростим, подставив \( a^2 + b^2 = 169 \): \[ 169 + 6a + 6b + 18 = 289. \] \[ 6a + 6b = 289 - 187 = 102. \]

Разделим на 6: \[ a + b = 17. \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a^2 + b^2 = 169 \),
2. \( a + b = 17 \).

Подставим \( b = 17 - a \) во первое уравнение: \[ a^2 + (17 - a)^2 = 169. \] \[ a^2 + (289 - 34a + a^2) = 169. \] \[ 2a^2 - 34a + 120 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение: \[ a^2 - 17a + 60 = 0, \] используя формулу: \[ a = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}. \]

Получаем:

1. \( a_1 = \frac{24}{2} = 12 \),
2. \( a_2 = \frac{10}{2} = 5 \).

Значит \( a \) и \( b \) равны 12 см и 5 см.

Теперь найдём площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2. \]

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 30 см².