С балкона h = 9,62 м бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 𝑣0 = 5 м/с. Определить время полета и скорость мячика в момент удара о землю.

Для решения задачи будем использовать уравнения движения тела, брошенного вверх. У нас есть следующие данные:

• Высота балкона \( h = 9,62 \, \text{м} \)
• Начальная скорость \( v_0 = 5 \, \text{м/с} \)
• Ускорение свободного падения \( g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \) (обычно берём положительное значение, однако в данном случае нужно помнить о направлении движения)

Шаг 1: Уравнение движения

Когда мячик брошен вверх, его положение можно описать уравнением:

\[ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]

где:

• \( h_0 = 0 \, \text{м} \) (начальная высота, относительно места броска)
• \( h(t) \) – высота в момент времени \( t \)

После броска мячик будет двигаться вверх, пока не достигнет максимальной высоты, а затем начнёт падать вниз.

Шаг 2: Время полета до момента удара о землю

Так как мячик падает на землю, конечное положение будет равно \( -9,62 \, \text{м} \) (мы принимаем вниз за отрицательное направление). Подставим это значение в уравнение:

\[ -9,62 = 0 + 5t - \frac{1}{2} \cdot 9,81 t^2 \]

Преобразуем уравнение:

\[ -9,62 = 5t - 4,905 t^2 \]

\[ 4,905 t^2 - 5t - 9,62 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4,905 \cdot (-9,62) \] \[ D = 25 + 188.7066 = 213.7066 \]

Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{213.7066}}{2 \cdot 4,905} \]

Посчитаем корни:

\[ \sqrt{213.7066} \approx 14,62 \] \[ t = \frac{5 \pm 14,62}{9,81} \]

Выбираем положительное значение:

\[ t_1 = \frac{5 + 14,62}{9,81} \approx \frac{19,62}{9,81} \approx 2,00 \, \text{с} \]

Шаг 4: Вычисление скорости при ударе о землю

Скорость в момент удара можно вычислить по следующей формуле:

\[ v = v_0 - g t \] \[ v = 5 - 9,81 \cdot 2 \approx 5 - 19,62 \] \[ v \approx -14,62 \, \text{м/с} \]

Здесь знак минус указывает на то, что скорость направлена вниз.

Ответ:

Время полета мячика составляет примерно \( 2,00 \, \text{с} \), а скорость в момент удара о землю – около \( 14,62 \, \text{м/с} \) вниз.