При яких значеннях х має зміст вираз 10√-2x²+7x-6? *у відповідь запишіть цілі розв'язки.
Чтобы выражение \( 10\sqrt{-2x^2 + 7x - 6} \ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это означает, что мы должны решить неравенство: \[ -2x^2 + 7x - 6 \geq 0. \] Для начала, упростим это неравенство. Умножим обе стороны на \(-1\), не забывая поменять знак неравенства:
\[ 2x^2 - 7x + 6 \leq 0. \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 7x + 6 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1. \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставив значения, получаем:
\[ x_1 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2, \] \[ x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = \frac{3}{2}\). Чтобы найти промежутки, которые удовлетворяют неравенству, рассмотрим значения на интервалах, образованных корнями.
Теперь нас интересуют знаки выражения \(2x^2 - 7x + 6\):
Для \(x < \frac{3}{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 - 7(0) + 6 = 6 > 0. \]
Для \(x\) в интервале \((\frac{3}{2}, 2)\) (например, \(x = 1.5\)): \[ 2(1.5)^2 - 7(1.5) + 6 = 2 \cdot 2.25 - 10.5 + 6 = 4.5 - 10.5 + 6 = 0 \quad (\text{проверка на границе, выходит 0}). \]
Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \[ 2(3)^2 - 7(3) + 6 = 18 - 21 + 6 = 3 > 0. \]
Теперь определяем знак на интервалах:
- На интервале \((- \infty, \frac{3}{2}]\): положительное
- На интервале \([\frac{3}{2}, 2]\): ноль
- На интервале \([2, + \infty)\): положительное
Таким образом, мы получили, что выражение \(10\sqrt{-2x^2 + 7x - 6}\) имеет смысл, когда:
\[ \frac{3}{2} \leq x \leq 2. \]
Таким образом, целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются:
\[ x = 2. \]
В заключении, выражение \(10\sqrt{-2x^2 + 7x - 6}\) имеет смысл только при \(x = 2\).
