Y= 2sinx+cos2x на промежутке [0;п]исследовать на монотонность и экстремумы

Задача заключается в исследовании функции \( y = 2\sin x + \cos(2x) \) на монотонность и экстремумы на заданном промежутке \( [0; \pi] \).

1. Найдем производную функции: Чтобы исследовать функцию на монотонность, сначала нужно найти её производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sin x + \cos(2x)) = 2\cos x - 2\sin(2x) \] Используем формулу для \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \): \[ y' = 2\cos x - 2(2\sin x \cos x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x) \]

2. Найдем критические точки: Чтобы определить точки, в которых функция может иметь экстремумы, приравняем производную к нулю: \[ 2\cos x(1 - 2\sin x) = 0 \] Это уравнение равно нулю, если:

   • \( \cos x = 0 \)
   • \( 1 - 2\sin x = 0 \)

   Рассмотрим каждое из этих уравнений:

   • \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} \) в промежутке \( [0; \pi] \).
   • \( 1 - 2\sin x = 0 \) дает \( \sin x = \frac{1}{2} \), что приводит к \( x = \frac{\pi}{6} \) в этом же промежутке.

   Таким образом, критические точки: \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).

3. Исследуем знаки производной: Теперь исследуем знаки производной на промежутках:

   • Для \( x \in [0, \frac{\pi}{6}) \):

     • \( \sin x < \frac{1}{2} \), следовательно, \( 1 - 2\sin x > 0 \) и \( \cos x > 0 \).
     • \( y' > 0 \) (функция возрастает).

   • Для \( x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) \):

     • \( \sin x > \frac{1}{2} \), тогда \( 1 - 2\sin x < 0 \) и \( \cos x > 0 \).
     • \( y' < 0 \) (функция убывает).

   • Для \( x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \):

     • \( \cos x < 0 \).
     • \( y' < 0 \) (функция убывает).

4. Итоговое заключение о монотонности:

   • Функция возрастает на промежутке \( [0; \frac{\pi}{6}) \).
   • Функция достигает максимума в \( x = \frac{\pi}{6} \).
   • Функция убывает на промежутках \( \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \) и \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \).

5. Экстремумы:

   • Максимум: \( x = \frac{\pi}{6} \).
   • Минимум: \( x = \frac{\pi}{2} \).

Теперь мы можем подставить эти значения в исходную функцию, чтобы найти координаты экстремумов:

• \( y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5 \).
• \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \).

Таким образом, функции \( y \) имеет максимум в \( \left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) \) и минимум в \( \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \).