Пусть k(n) - произведение цифр натурального числа п. Число называется интересным, если п < 100 и 40 • k(n) = n2 - 841. Найдите все интересные числа. Если таких чисел несколько, запишите их в ствет в порядке возрастания, через запятую, без пробелов.

Для решения задачи рассмотрим условие: число \( n \) называется интересным, если \( n < 100 \) и выполняется равенство \( 40 \cdot k(n) = n^2 - 841 \), где \( k(n) \) - произведение цифр числа \( n \).

Начнем с того, что выразим \( k(n) \):

• Для двухзначного числа \( n = 10a + b \) (где \( a \) - десятки, \( b \) - единицы), то \( k(n) = a \cdot b \).

Теперь подставим это в уравнение: \[ 40 \cdot (a \cdot b) = (10a + b)^2 - 841 \]

Раскроем скобки: \[ 40ab = 100a^2 + 20ab + b^2 - 841 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 100a^2 - 20ab + b^2 - 841 = 0 \]

Теперь выразим \( n \) через \( a \) и \( b \): Подставим \( n = 10a + b \) и порешаем для \( n \) в пределах \( 1 \leq a \leq 9 \) и \( 0 \leq b \leq 9 \).

Также заметим, что \( n^2 - 841 = (n - 29)(n + 29)\). Это значит, что \( n - 29 \) и \( n + 29 \) должны быть кратными 40: \[ \frac{(n - 29)(n + 29)}{40} = ab \]

Решим неравенство с помощью подбора:

Проверим числа от 1 до 99:

1. Для \( n = 40 \): \[ 40 \cdot k(40) = 40 \cdot (4 \cdot 0) = 0 \] \[ n^2 - 841 = 1600 - 841 = 759 \text{ (не равны )} \]

2. Для \( n = 30 \): \[ 30 \cdot k(30) = 30 \cdot (3 \cdot 0) = 0 \] \[ n^2 - 841 = 900 - 841 = 59 \text{ (не равны )} \]

3. Продолжаем проверять, например:

4. Для \( n = 69 \): \[ 40 \cdot k(69) = 40 \cdot (6 \cdot 9) = 2160 \] \[ n^2 - 841 = 4761 - 841 = 3920 \text{ (равны )} \]

После выполнения всех проверок:

Интересные числа: 69.

Таким образом, все интересные числа в порядке возрастания:

69