х^4-10х^2+9\2х-6ольше нуля
Чтобы решить неравенство \( \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{2x - 6} > 0 \), давайте сначала разберем выражение и найдем, когда оно будет больше нуля.
Найдем нули числителя. Для этого решим уравнение:
\[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
Заметим, что это уравнение можно решить, введя замену \( y = x^2 \):
\[ y^2 - 10y + 9 = 0 \]
Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]
Находим корни:
\[ y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2} \]
Таким образом, получаем \( y_1 = 9 \) и \( y_2 = 1 \). Вернувшись к \( x \), имеем:
\[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Таким образом, числитель равен нулю в точках \( x = -3, -1, 1, 3 \).
Теперь найдем нули знаменателя:
\[ 2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
Важно отметить, что при \( x = 3 \) выражение будет неопределённым.
Обозначим критические точки: \(-3, -1, 1, 3\).
Построим интервал: Определим знак выражения в каждом интервале, разбитом этими точками: \((- \infty, -3)\), \((-3, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, 3)\), \((3, +\infty)\).
Проверим знаки:
- Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ \frac{(-)^4 - 10(-)^2 + 9}{2(-4) - 6} = \frac{16 - 40 + 9}{-14} < 0 \]
- Для \( x \in (-3, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ \frac{(-)^4 - 10(-2)^2 + 9}{2(-2) - 6} = \frac{16 - 40 + 9}{-10} > 0 \]
- Для \( x \in (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{0 - 0 + 9}{-6} < 0 \]
- Для \( x \in (1, 3) \) (например, \( x = 2 \)): \[ \frac{16 - 40 + 9}{-2} < 0 \]
- Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ \frac{256 - 160 + 9}{2} > 0 \]
Записываем результат: Мы получили, что неравенство выполняется на интервалах:
\[ (-3, -1) \cup (3, +\infty) \]
Таким образом, решение неравенства \( \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{2x - 6} > 0 \) заключается в интервалах \( (-3, -1) \) и \( (3, +\infty) \).
