Найди производную функции

Привет! Давай вместе разберем, как найти производную функции, которую ты прислал.

Исходная функция такая: \[ y = \frac{ x \sqrt{x} + 2x^2 }{ x \sqrt{x} } \]

Первый шаг — упростить выражение под знаком деления. Заметим, что и числитель, и знаменатель содержат общий множитель \( x \sqrt{x} \):

\[ y = \frac{ x \sqrt{x} + 2x^2 }{ x \sqrt{x} } = \frac{ x^{1.5} + 2x^2 }{ x^{1.5} } \]

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\[ y = \frac{ x^{1.5} }{ x^{1.5} } + \frac{ 2x^2 }{ x^{1.5} } \]

Первый член упрощается до 1, так как \( \frac{ x^{1.5} }{ x^{1.5} } = 1 \):

\[ y = 1 + 2x^{2-1.5} \]

Вычтем степени:

\[ y = 1 + 2x^{0.5} \] \[ y = 1 + 2\sqrt{x} \]

Теперь найдем производную этой функции:

Производная единицы равна нулю. Производная от \(2\sqrt{x}\) можно найти, изменив представление \( \sqrt{x} \):

\[ \sqrt{x} = x^{0.5} \]

Теперь найдем производную по правилу степеней для \(x^{0.5}\):

Производная \(x^n\) равна \( nx^{n-1} \), где \(n = 0.5\):

\[ \frac{d}{dx}(x^{0.5}) = 0.5x^{-0.5} \]

Домножим это на 2:

\[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot 0.5 x^{-0.5} = x^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная \( y = 1 + 2\sqrt{x} \) будет:

\[ \frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Ответ:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать.