Решите уравнение x^3-11x^2+24x+36

Для решения кубического уравнения \(x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0\) можно использовать метод подбора корней, начиная с целых чисел.

Проверим несколько целых чисел для поиска корней:

1. \(x = -1\): \[ (-1)^3 - 11(-1)^2 + 24(-1) + 36 = -1 - 11 - 24 + 36 = 0 \quad \text{(это корень)} \]

Теперь мы знаем, что \(x = -1\) является корнем. Мы можем разделить полином на \((x + 1)\) с использованием деления многочленов.

Делим \(x^3 - 11x^2 + 24x + 36\) на \(x + 1\):

1. \(x^3 \div x = x^2\)
2. Умножаем \(x^2\) на \((x + 1)\) и вычитаем: \[ (x^3 - 11x^2 + 24x + 36) - (x^3 + x^2) = -12x^2 + 24x + 36 \]
3. Теперь делим \(-12x^2\) на \(x\): \(-12x^2 \div x = -12x\)
4. Умножаем \(-12x\) на \((x + 1)\) и вычитаем: \[ (-12x^2 + 24x + 36) - (-12x^2 - 12x) = 36x + 36 \]
5. Делим \(36x\) на \(x\): \(36x \div x = 36\)
6. Умножаем \(36\) на \((x + 1)\) и вычитаем: \[ (36x + 36) - (36x + 36) = 0 \]

Таким образом, мы получили: \[ x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = (x + 1)(x^2 - 12x + 36) \]

Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - 12x + 36 = 0\). Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0 \] Корень с повторением: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, у уравнения \(x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0\) есть три корня: \[ x = -1 \quad \text{(один раз)}, \quad x = 6 \quad \text{(дважды)}. \]

Ответ: \(x = -1\) и \(x = 6\) (сMultiplicity 2).