Решите уравнение x^3-11x^2+24x+36
Чтобы решить уравнение \( x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0 \), можно использовать метод подбора корней или метод деления. Попробуем найти корни.
Проверим, возможно ли найти рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это делители свободного члена (36) делённые на делители старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные корни: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 \).
Подберём корни. Начнём с \( x = -2 \):
\[ (-2)^3 - 11(-2)^2 + 24(-2) + 36 = -8 - 44 - 48 + 36 = -64 \quad (\text{не корень}) \]
Попробуем \( x = 3 \):
\[ 3^3 - 11 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 + 36 = 27 - 99 + 72 + 36 = 36 - 99 + 27 = -36 \quad (\text{не корень}) \]
Теперь попробуем \( x = 4 \):
\[ 4^3 - 11 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 + 36 = 64 - 176 + 96 + 36 = 64 - 176 + 132 = 20 \quad (\text{не корень}) \]
Теперь попробуем \( x = 6 \):
\[ 6^3 - 11 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 + 36 = 216 - 396 + 144 + 36 = 0 \quad (\text{корень}) \]
Теперь, когда мы нашли корень \( x = 6 \), можем выполнить деление многочлена на \( (x - 6) \):
Используем деление многочлена:
\[ x^3 - 11x^2 + 24x + 36 \div (x - 6) \]
После выполнения деления получаем:
\[ x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = (x - 6)(x^2 - 5x - 6) \]
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 5x - 6 = 0 \) с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -5, c = -6 \):
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \]
Теперь найдем корни:
\[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad (уже найденный корень) \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Таким образом, уравнение имеет корни \( x_1 = 6, x_2 = 6, x_3 = -1 \).
Ответ: \( x = 6 \) (двойной корень) и \( x = -1 \).
