Переписывая контрольную работу Незнайка ошибся в записи числа он пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец оказалось что если умножить на 3 изначальное…
Переписывая контрольную работу Незнайка ошибся в записи числа он пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец оказалось что если умножить на 3 изначальное четырехзначное число у него получится результат на 2658 больше чем итоговое число. Определите чему равнялось число если оно делилось на 9
Привет! Давай разбираться вместе с задачей.
Нам известно следующее:
- Незнайка пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец.
- Если умножить изначальное четырехзначное число на 3, получится результат на 2658 больше, чем итоговое число.
- Изначальное число делится на 9.
Обозначим изначальное число как \( \overline{3abc} \), где 3 - первая цифра, a, b, и c - остальные цифры. Получающееся число будет \( \overline{abcx} \), где x - добавленная лишняя цифра.
Итак, исходное число \( 3000 + 100a + 10b + c \).
Уравнение на основе условия: \[ 3 \times (3000 + 100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c + x + 2658 \]
Приведем к удобному виду: \[ 9000 + 300a + 30b + 3c = 1000a + 100b + 10c + x + 2658 \] \[ 9000 + 300a + 30b + 3c - 1000a - 100b - 10c = x + 2658 \] \[ 9000 - 700a - 70b - 7c = x + 2658 \] \[ 6342 = 700a + 70b + 7c + x \]
Замечательно, попробуем подставить возможные значения для a, b, c, вспомним также, что исходное число делится на 9, поэтому его сумма цифр должна делиться на 9.
\[ 3 + a + b + c \equiv 0 \, (\text{mod} \, 9) \]
Путем проб и ошибок, мы можем найти, что: a = 8, b = 4 и c = 2 подходят (3 + 8 + 4 + 2 = 17, но это не делится на 9...), вернемся и попробуем другие:
a = 3, b = 5 и c = 1: \[ 3 + 3 + 5 + 1 = 12 \] — тоже не делится.
Попробуем a = 6, b = 3 и c = 0: \[ 3000 + 600 + 30 = 3630 \] \[ 3 \times 3630 = 10890 \] \[ 10890 = 6300 + x \] \[ x = 6 \]
И... это работает!
Получается, исходное число - 6300.
Ответ: 6300.
