Вычислительной значение 6√1/64+5√32/243

Чтобы вычислить значение выражения \( 6\sqrt{\frac{1}{64}} + 5\sqrt{\frac{32}{243}} \), начнем с разбора каждого элемента по отдельности.

1. Вычислим \( 6\sqrt{\frac{1}{64}} \): \[ \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}. \] Умножаем на 6: \[ 6 \cdot \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}. \]

2. Теперь вычислим \( 5\sqrt{\frac{32}{243}} \): Разделим подкоренное выражение на множители: \[ \sqrt{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{243}}. \]

   • Вычислим \( \sqrt{32} \): \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}. \]
   • Вычислим \( \sqrt{243} \): \[ \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \]

   Таким образом, подкоренное выражение становится: \[ \sqrt{\frac{32}{243}} = \frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{27}. \]

   Умножаем на 5: \[ 5\sqrt{\frac{32}{243}} = 5 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{27} = \frac{20\sqrt{6}}{27}. \]

3. Теперь объединим оба результата: \[ 6\sqrt{\frac{1}{64}} + 5\sqrt{\frac{32}{243}} = \frac{3}{4} + \frac{20\sqrt{6}}{27}. \]

Для упрощения сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( 4 \) и \( 27 \) — это \( 108 \).

• Приведем \( \frac{3}{4} \) к знаменателю \( 108 \): \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 27}{4 \cdot 27} = \frac{81}{108}. \]

• Приведем \( \frac{20\sqrt{6}}{27} \) к знаменателю \( 108 \): \[ \frac{20\sqrt{6}}{27} = \frac{20\sqrt{6} \cdot 4}{27 \cdot 4} = \frac{80\sqrt{6}}{108}. \]

Теперь можем сложить: \[ \frac{81}{108} + \frac{80\sqrt{6}}{108} = \frac{81 + 80\sqrt{6}}{108}. \]

Итак, окончательный результат: \[ 6\sqrt{\frac{1}{64}} + 5\sqrt{\frac{32}{243}} = \frac{81 + 80\sqrt{6}}{108}. \]