cos4x(1+tg²x)+sin²x

Чтобы упростить выражение \( \cos 4x (1 + \tan^2 x) + \sin^2 x \), воспользуемся различными тригонометрическими тождествами.

Сначала воспользуемся тем, что \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \). Это дает нам:

\[ \cos 4x (1 + \tan^2 x) = \cos 4x \sec^2 x \]

Далее, так как \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), мы можем переписать это так:

\[ \cos 4x \sec^2 x = \frac{\cos 4x}{\cos^2 x} \]

Теперь мы можем продолжить упрощенный вид нашего выражения:

\[ \frac{\cos 4x}{\cos^2 x} + \sin^2 x \]

Используем тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):

\[ \frac{\cos 4x}{\cos^2 x} + (1 - \cos^2 x) \]

Далее, можно объединить выражения:

\[ \frac{\cos 4x + \cos^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} \]

Так как \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), мы можем на этом этапе подставить это значение обратно и упростить выражение, если это необходимо.

Если вы хотите узнать больше о тригонометрических тождествах или есть другие вопросы по этой теме, пожалуйста, дайте знать!