Решите систему линейных уравнений тремя способами:

Привет! Давай вместе решим систему линейных уравнений тремя способами. У нас есть система:

1. 5x - y = 3
2. 2x + 3y = 25

1. Метод подстановки

Сначала выразим y из первого уравнения:

5x - y = 3 => y = 5x - 3

Подставим это значение y во второе уравнение:

2x + 3(5x - 3) = 25 => 2x + 15x - 9 = 25 => 17x - 9 = 25 => 17x = 34 => x = 2

Теперь найдем y, подставив x = 2 в первую уравнение:

y = 5 * 2 - 3 => y = 10 - 3 => y = 7

Первый способ дал нам решение: x = 2, y = 7.

2. Метод сложения (метод исключения)

Сначала умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты перед y стали равны:

3(5x - y) = 3 * 3 => 15x - 3y = 9

Теперь имеем новую систему:

1. 15x - 3y = 9
2. 2x + 3y = 25

Складываем уравнения:

15x - 3y + 2x + 3y = 9 + 25 => 17x = 34 => x = 2

Теперь подставим x = 2 в первое уравнение:

5 * 2 - y = 3 => 10 - y = 3 => y = 7

Второй способ дал нам тоже самое решение: x = 2, y = 7.

3. Метод обратной матрицы (если знаком с матрицами)

Запишем систему в матричном виде:

A * X = B, где

A = | 5 -1 | | 2 3 |

X = | x | | y |

B = | 3 | | 25 |

Найдём обратную матрицу для A и умножим её на B:

A^-1 = 1/(5*3 - (-1)*2) * | 3 1 | | -2 5 |

=> A^-1 = 1/17 * | 3 1 | | -2 5 |

Теперь умножаем A^-1 на B:

X = A^-1 * B = 1/17 * | 3 1 | * | 3 | | -2 5 | | 25 |

=> X = 1/17 * | 9 + 25 | | -6 + 125 |

=> X = 1/17 * | 34 | | 119 |

=> X = | 2 | | 7 |

Третий способ дал нам также решение: x = 2, y = 7.

Вот и всё! Наше решение системы: x = 2 и y = 7.