Решите систему линейных уравнений тремя способами: 5x-y=3 2x+3y=25

Чтобы решить систему линейных уравнений

\[ \begin{cases} 5x - y = 3 \quad (1) \\ 2x + 3y = 25 \quad (2) \end{cases} \]

мы воспользуемся тремя разными методами: методом подстановки, методом исключения и методом матриц.

Метод подстановки

1. Из уравнения (1) выразим \(y\): \[ y = 5x - 3 \]

2. Подставим это значение \(y\) в уравнение (2): \[ 2x + 3(5x - 3) = 25 \] \[ 2x + 15x - 9 = 25 \] \[ 17x - 9 = 25 \] \[ 17x = 34 \] \[ x = 2 \]

3. Найдем \(y\), подставив значение \(x\) в уравнение для \(y\): \[ y = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7 \]

Таким образом, решение системы: \(x = 2\), \(y = 7\).

Метод исключения

1. Умножим первое уравнение (1) на 3, чтобы упростить систему: \[ 15x - 3y = 9 \quad (3) \]

2. Запишем новую систему уравнений: \[ \begin{cases} 15x - 3y = 9 \quad (3) \\ 2x + 3y = 25 \quad (2) \end{cases} \]

3. Складываем (3) и (2): \[ 15x - 3y + 2x + 3y = 9 + 25 \] \[ 17x = 34 \] \[ x = 2 \]

4. Теперь найдем \(y\), подставив \(x\) в уравнение (1): \[ 5(2) - y = 3 \] \[ 10 - y = 3 \] \[ y = 7 \]

Таким образом, решение системы: \(x = 2\), \(y = 7\).

Метод матриц

1. Запишем систему в матричной форме: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 \\ 25 \end{pmatrix} \]

2. Найдем обратную матрицу \(A^{-1}\): \[ |A| = 5 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 15 + 2 = 17 \]

   \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \]

3. Умножим \(A^{-1}\) на \(\mathbf{B}\): \[ \mathbf{X} = A^{-1} \mathbf{B} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 25 \end{pmatrix} \]

4. Вычислим произведение: \[ = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 25 \\ -2 \cdot 3 + 5 \cdot 25 \end{pmatrix} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 9 + 25 \\ -6 + 125 \end{pmatrix} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 34 \\ 119 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Таким образом, решение системы: \(x = 2\), \(y = 7\).

Ответ

Решение системы: \(x = 2\), \(y = 7\).