Мальчик Петя стоит между деревнями А и В, соединенными дорогой, на расстоянии 15 км от деревни А. За ним из деревни А вышел папа со скоростью 2 км/ч, а из деревни В на велосипеде…
Мальчик Петя стоит между деревнями А и В, соединенными дорогой, на расстоянии 15 км от деревни А. За ним из деревни А вышел папа со скоростью 2 км/ч, а из деревни В на велосипеде выехала мама со скоростью 12 км/ч. Одновременно с родителями движение начал Петя, всегда двигаясь навстречу тому из них, кто находится ближе. Через 2 часа он впервые дошел до одного из родителей. Известно, что скорость Пети 3 км/ч и он поменял направление ровно один раз. Найдите расстояние между деревнями.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим расстояние между деревнями А и В как \(x\) км.
Петя начинает свое движение на расстоянии 15 км от деревни А. Папа движется к Пете со скоростью 2 км/ч, а мама — со скоростью 12 км/ч. Мы знаем, что Петя движется с постоянной скоростью 3 км/ч и меняет направление один раз.
Определим детали движения:
За 2 часа папа, движущийся со скоростью 2 км/ч, проходит: \[ 2 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 4 \, \text{км} \] Таким образом, после 2 часов он находится на расстоянии 15 км - 4 км = 11 км от деревни А.
Мама, двигаясь со скоростью 12 км/ч, за 2 часа проходит: \[ 12 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 24 \, \text{км} \] Следовательно, мама, выехав из деревни В, покроет расстояние до Пети, когда доедет до 15 км от А. Таким образом, если расстояние между деревнями A и B равно \(x\), то через 2 часа она пройдет все расстояние \(x\) и прибудет на \(24 - x\) км от деревни А.
Теперь определим путь Пети:
- За 2 часа Петя проходит: \[ 3 \, \text{км/ч} \times 2 \, \text{ч} = 6 \, \text{км} \]
- Петя сначала движется к папе, который находится ближе (11 км от А) и когда проходит 6 км, он оказывается на расстоянии 15-6=9 км от деревни А, а от деревни В — соответственно \(x - 9\) км.
Определим направление движения Пети:
- Папа идет к Пете, когда тот находится на расстоянии 9 км от А, и по малому пути Петя должен был бы развернуться к маме.
- Тогда оставшееся расстояние до мамы будет равно \(x - 9\).
Итак, в результате:
Так как за 2 часа мама проедет к Пете на «х», имея на это только 2 часа, она проедет 24 км. Мы можем записать: \[ 11 + x - 6 = 24. \] Отсюда просто решим уравнение: \[ x = 24 - 5 = 19 \text{ км.} \] 4. Проверяем расчет:
- Расстояние между деревнями А и В составляет 19 км.
- Папа за 2 часа подошел к Пете на 4 км.
- Мама за 2 часа проехала 24 км, что больше расстояния между деревнями.
Таким образом, расстояние между деревнями А и В равно 19 км.
