Развёртки боковой поверхности цилиндра является квадратом диагональ которого равна 10 см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра. решение

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, сначала определим его высоту и радиус основания, используя информацию о квадрате, который является разверткой боковой поверхности.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле: \[ S = 2\pi r h \] где \( r \) — радиус основания цилиндра, \( h \) — высота цилиндра.

2. Развертка боковой поверхности цилиндра имеет форму прямоугольника, где:

   • ширина равна окружности основания цилиндра \( 2\pi r \),
   • высота равна \( h \).

3. Поскольку в задаче указано, что развертка является квадратом, то длина стороны квадрата равна длине окружности основания: \[ 2\pi r = h \]

4. Учитывая, что диагональ квадрата равна 10 см, можем воспользоваться свойством квадрата: \[ d = a\sqrt{2} \] где \( d \) — диагональ квадрата, \( a \) — сторона квадрата. Из этого мы можем найти сторону квадрата: \[ a\sqrt{2} = 10 \implies a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см}. \]

5. Теперь у нас есть значение для стороны квадрата, а оно равно \( h \) (высота) и \( 2\pi r \). Успользуем равенства: \[ h = 5\sqrt{2} \text{ см}. \] И соответственно: \[ 2\pi r = 5\sqrt{2} \implies r = \frac{5\sqrt{2}}{2\pi}. \]

6. Теперь, подставим значения \( r \) и \( h \) в формулу для площади боковой поверхности: \[ S = 2\pi r h = 2\pi \left( \frac{5\sqrt{2}}{2\pi} \right) (5\sqrt{2}). \] Упростим данное выражение: \[ = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2\pi} \cdot 5\sqrt{2} = 5 \cdot 5 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 50 см².