(х-1)(х+2)/(х-5)²≤0
Чтобы решить неравенство \((x-1)(x+2)/(x-5)^2 \leq 0\), давайте разберем его шаг за шагом.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Числитель: \((x-1)(x+2) = 0\) дает два корня:
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Знаменатель: \((x-5)^2 = 0\) дает один корень:
- \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) (заметим, что это значение делает дробь неопределенной).
Таким образом, ключевые точки, которые нам важны: \(-2\), \(1\) и \(5\).
Определим знаки выражения на промежутках, которые образуются этими точками.
Разделим числовую прямую на интервалы:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, 1)\)
- \((1, 5)\)
- \((5, +\infty)\)
Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и определим знак функции:
Для интервала \((-\infty, -2)\), например, \(x = -3\): \[ \frac{(-3-1)(-3+2)}{(-3-5)^2} = \frac{(-4)(-1)}{64} > 0 \]
Для интервала \((-2, 1)\), например, \(x = 0\): \[ \frac{(0-1)(0+2)}{(0-5)^2} = \frac{(-1)(2)}{25} < 0 \]
Для интервала \((1, 5)\), например, \(x = 2\): \[ \frac{(2-1)(2+2)}{(2-5)^2} = \frac{(1)(4)}{9} > 0 \]
Для интервала \((5, +\infty)\), например, \(x = 6\): \[ \frac{(6-1)(6+2)}{(6-5)^2} = \frac{(5)(8)}{1} > 0 \]
Составляем таблицу знаков:
- На интервале \((-\infty, -2)\) знак положительный.
- На интервале \((-2, 1)\) знак отрицательный.
- На интервале \((1, 5)\) знак положительный.
- На интервале \((5, +\infty)\) знак положительный.
Анализируем крайние точки.
- В точке \(x = -2\) числитель равен нулю, а знаменатель не нулю, то функция равна нулю. Поэтому включаем \(-2\) в решение.
- В точке \(x = 1\) также числитель равен нулю и остается неравенство ноль, следовательно, включаем \(1\) в решение.
- В точке \(x = 5\) дробь неопределена, поэтому \(5\) не включаем в решение.
Записываем окончательное решение.
С учетом всей информации, неравенство \((x-1)(x+2)/(x-5)^2 \leq 0\) выполняется на интервале: \[ x \in [-2, 1] \]
Таким образом, решением данного неравенства является отрезок \([-2, 1]\).
