Стрелок стреляет по 8 одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразить ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразить ровно одну мишень»?

Question 1

Задача Задача №1685146

А

Аноним

01 октября 2024 06:44 · публичный вопрос

А

Аноним 01 октября 2024 06:44

Стрелок стреляет по 8 одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразить ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразить ровно одну мишень»?

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся формулой биномиального распределения, поскольку стрелок делает фиксированное количество выстрелов (в нашем случае 16 выстрелов на 8 мишеней, по 2 на каждую) и вероятность попадания равна 0.4.

Обозначим:

\( n = 16 \) (общее количество выстрелов),
\( k \) — количество мишеней, которые стрелок попал,
\( p = 0.4 \) — вероятность попадания в одну мишень,
\( q = 1 - p = 0.6 \) — вероятность промаха.

Сначала найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени (\( P(X = 3) \)).

Количество способов, которыми стрелок может попасть в 3 мишени из 8, равно сочетанию из 8 по 3: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56. \]

Каждая мишень будет поражена с вероятностью \( 0.4 \), а для остальных 5 мишеней попадание не происходит, соответственно: \[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0.4^3) \cdot (0.6^{(8-3)}) = 56 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^5. \]

Теперь найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень (\( P(X = 1) \)): \[ C(8, 1) = 8. \] По аналогии: \[ P(X = 1) = C(8, 1) \cdot (0.4^1) \cdot (0.6^{(8-1)}) = 8 \cdot 0.4^1 \cdot 0.6^7. \]

Теперь вычислим эти вероятности:

Вычисление \( P(X = 3) \): \[ P(X = 3) = 56 \cdot (0.4^3) \cdot (0.6^5) = 56 \cdot 0.064 \cdot 0.07776 \approx 0.221. \]
Вычисление \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = 8 \cdot (0.4^1) \cdot (0.6^7) = 8 \cdot 0.4 \cdot 0.279936 \approx 0.896. \]

Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»: \[ \text{Отношение} = \frac{P(X = 3)}{P(X = 1)} \approx \frac{0.221}{0.896} \approx 0.246. \]

Таким образом, вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» меньше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень», в примерно 0.246 раз.

Question 2

стрелок стреляет по 8 одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,4. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразить ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразить ровно одну мишень»?

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся формулой биномиального распределения, поскольку стрелок делает фиксированное количество выстрелов (в нашем случае 16 выстрелов на 8 мишеней, по 2 на каждую) и вероятность попадания равна 0.4. Обозначим: - \( n = 16 \) (общее количество выстрелов), - \( k \) — количество мишеней, которые стрелок попал, - \( p = 0.4 \) — вероятность попадания в одну мишень, - \( q = 1 - p = 0.6 \) — вероятность промаха. Сначала найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени (\( P(X = 3) \)). Количество способов, которыми стрелок может попасть в 3 мишени из 8, равно сочетанию из 8 по 3: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56. \] Каждая мишень будет поражена с вероятностью \( 0.4 \), а для остальных 5 мишеней попадание не происходит, соответственно: \[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0.4^3) \cdot (0.6^{(8-3)}) = 56 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^5. \] Теперь найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно одну мишень (\( P(X = 1) \)): \[ C(8, 1) = 8. \] По аналогии: \[ P(X = 1) = C(8, 1) \cdot (0.4^1) \cdot (0.6^{(8-1)}) = 8 \cdot 0.4^1 \cdot 0.6^7. \] Теперь вычислим эти вероятности: 1. **Вычисление \( P(X = 3) \)**: \[ P(X = 3) = 56 \cdot (0.4^3) \cdot (0.6^5) = 56 \cdot 0.064 \cdot 0.07776 \approx 0.221. \] 2. **Вычисление \( P(X = 1) \)**: \[ P(X = 1) = 8 \cdot (0.4^1) \cdot (0.6^7) = 8 \cdot 0.4 \cdot 0.279936 \approx 0.896. \] Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»: \[ \text{Отношение} = \frac{P(X = 3)}{P(X = 1)} \approx \frac{0.221}{0.896} \approx 0.246. \] Таким образом, вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» меньше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень», в примерно 0.246 раз.