прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке B. найдите AB, если OA=20 см, r=15 см
Для решения данной задачи воспользуемся теорией о касательной и радиусе окружности.
Из условия нам известно, что прямая AB касается окружности в точке B, а OA — это отрезок, соединяющий центр окружности O с точкой A, который равен 20 см. Радиус окружности r равен 15 см.
Так как AB касается окружности в точке B, отрезок OB является радиусом и перпендикулярен касательной. То есть углы OBA и OBC (где C — точка, где прямая AB перпендикулярна радиусу OB) равны 90°.
Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAB, где OB — радиус окружности, OA — отрезок от центра до точки A, и AB — касательная.
Согласно теореме Пифагора:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2. \]
Подставим известные значения:
- \( OA = 20 \, \text{см} \)
- \( OB = r = 15 \, \text{см} \)
Теперь подставим в формулу:
\[ 20^2 = 15^2 + AB^2. \]
Рассчитаем:
\[ 400 = 225 + AB^2. \]
Теперь найдем \( AB^2 \):
\[ AB^2 = 400 - 225 = 175. \]
Теперь извлечем квадратный корень из 175, чтобы найти длину AB:
\[ AB = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \, \text{см}. \]
Таким образом, длина касательной AB равна \( 5\sqrt{7} \, \text{см} \).
