3. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными ? Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы. Решение. Обозначим градусную меру первого угла через х, тогда градусная мера угла, смежного с ним
Давайте разберем ваш вопрос по частям.
- Первый вопрос: Могут ли два угла со средней вершиной с перпендикулярными сторонами оказаться вертикальными?
Вертикальные углы образуются, когда две прямые пересекаются, образуя четыре угла, причём пары углов, которые находятся по диагонали от друг друга, равны. Если у двух углов общая вершина и их стороны перпендикулярны, это означает, что они образуют прямые углы. Однако такие углы не могут быть вертикальными, так как вертикальные углы должны быть равны и отделены друг от друга. Таким образом, ответ — нет, такие углы не могут быть вертикальными.
- Второй вопрос: Найдите смежные углы, если треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол.
Обозначим градусную меру первого угла через \( x \). Так как углы смежные, второй угол будет равен \( 180° - x \).
Согласно условию задачи, треть первого угла плюс три пятых второго угла равны прямому углу:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}(180° - x) = 90° \]
Теперь решим это уравнение. Начнем с превращения его в более удобный вид:
\[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} \cdot 180° - \frac{3}{5}x = 90° \]
Упростим и выразим всё в одних дробях:
- Найдем общий знаменатель для \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{3}{5} \). Общий знаменатель равен 15.
\[ \frac{5}{15}x + \frac{9}{15} \cdot 180° - \frac{9}{15}x = 90° \]
Теперь выразим все через \( 15 \):
\[ \frac{5x + 1620 - 9x}{15} = 90° \]
Теперь умножим обе стороны на 15:
\[ 5x + 1620 - 9x = 1350 \]
Упростим уравнение:
\[ -4x + 1620 = 1350 \]
Вычтем 1620 из обеих сторон:
\[ -4x = 1350 - 1620 \] \[ -4x = -270 \]
Теперь делим обе стороны на -4:
\[ x = \frac{-270}{-4} = 67.5° \]
Таким образом, первый угол равен \( 67.5° \). Второй угол будет:
\[ 180° - x = 180° - 67.5° = 112.5° \]
В итоге, смежные углы равны \( 67.5° \) и \( 112.5° \). Вы можете проверить, что треть первого угла плюс три пятых второго действительно составляют 90°.
