постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства y = (x-2)(x+4)
Для построения графика квадратичной функции y = (x - 2)(x + 4), сначала удобно представить ее в стандартной форме. Раскроем скобки:
\( y = (x - 2)(x + 4) \) \( y = x^2 + 4x - 2x - 8 \) \( y = x^2 + 2x - 8 \)
Теперь, когда мы привели функцию к стандартному виду \( y = ax^2 + bx + c \), мы можем определить ее свойства.
Вершина параболы: Вершина квадратичной функции находится по формуле: \( x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \). Подставляем значения: \( x_{vertex} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).
Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти \( y_{vertex} \): \( y_{vertex} = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \).
Вершина параболы находится в точке (-1, -9).
Нули функции (пересечения с осью X): Чтобы найти корни, необходимо решить уравнение \( (x - 2)(x + 4) = 0 \): \( x - 2 = 0 \) или \( x + 4 = 0 \). Таким образом, корни: \( x = 2 \) и \( x = -4 \). Точки пересечения с осью X: (2, 0) и (-4, 0).
Пересечение с осью Y: Найдем значение функции при \( x = 0 \): \( y = (0 - 2)(0 + 4) = -2 \cdot 4 = -8 \). Пересечение с осью Y: (0, -8).
Направление параболы: Парабола открыта вверх, так как коэффициент \( a = 1 \) положителен.
Симметрия: График функции симметричен относительно вертикальной линии, проведенной через вершину, то есть через \( x = -1 \).
Теперь, основываясь на этих свойствах, можно построить график. Он будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке (-1, -9), пересекающей ось X в точках (2, 0) и (-4, 0), и ось Y в точке (0, -8).
Строя график, не забудьте отметить все ключевые точки!
