Вычисли c o s α cosα и и s i n β sinβ , если 0 ° ≤ α ≤ 90 ° 0°≤α≤90° и 0 ° ≤ β ≤ 90 ° 0°≤β≤90° , s i n α = 3 7 sinα= 7 3 , c o s β = 15 8 cosβ= 8 15 .
Чтобы найти значения \(\cos \alpha\) и \(\sin \beta\), давайте воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями.
Для угла \(\alpha\): Знаем, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Дано, что \(\sin \alpha = \frac{3}{7}\). Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
Расчитаем \(\left(\frac{3}{7}\right)^2\):
\[ \frac{9}{49} + \cos^2 \alpha = 1 \]
Теперь вычтем \(\frac{9}{49}\) из 1 (нужно привести 1 к общему знаменателю):
\[ 1 = \frac{49}{49} \]
Следовательно:
\[ \cos^2 \alpha = \frac{49}{49} - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} \]
Теперь найдем \(\cos \alpha\):
\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7} \]
Теперь перейдем к углу \(\beta\): Знаем, что \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). Дано, что \(\cos \beta = \frac{8}{15}\). Подставим это в уравнение:
\[ \sin^2 \beta + \left(\frac{8}{15}\right)^2 = 1 \]
Расчитаем \(\left(\frac{8}{15}\right)^2\):
\[ \sin^2 \beta + \frac{64}{225} = 1 \]
Теперь вычтем \(\frac{64}{225}\) из 1:
\[ 1 = \frac{225}{225} \]
Следовательно:
\[ \sin^2 \beta = \frac{225}{225} - \frac{64}{225} = \frac{161}{225} \]
Теперь найдем \(\sin \beta\):
\[ \sin \beta = \sqrt{\frac{161}{225}} = \frac{\sqrt{161}}{15} \]
Таким образом, мы нашли:
\[ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{7}, \quad \sin \beta = \frac{\sqrt{161}}{15} \]
Если есть еще вопросы по тригонометрии или другим темам, не стесняйтесь задавать!
