lim arcsin7x sin4x

Чтобы найти предел выражения \(\frac{\arcsin(7x)}{\sin(4x)}\) при \(x\) стремящемся к 0, мы можем использовать правило Лопиталя, так как в данной ситуации оба числителя и знаменатель стремятся к нулю.

1. Сначала определим предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(7x)}{\sin(4x)} = \frac{0}{0} \] Это неопределённая форма, следовательно, можно применить правило Лопиталя.

2. Найдем производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя (\(\arcsin(7x)\)): \[ \frac{d}{dx}(\arcsin(7x)) = \frac{7}{\sqrt{1 - (7x)^2}} \]
• Производная знаменателя (\(\sin(4x)\)): \[ \frac{d}{dx}(\sin(4x)) = 4\cos(4x) \]

3. Теперь применим правило Лопиталя: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(7x)}{\sin(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{\sqrt{1 - (7x)^2}}}{4\cos(4x)} \]

4. Подставим \(x = 0\): \[ \sqrt{1 - (7 \cdot 0)^2} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{и} \quad \cos(4 \cdot 0) = \cos(0) = 1 \] Таким образом, мы получаем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{1}}{4 \cdot 1} = \frac{7}{4} \]

Итак, предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(7x)}{\sin(4x)}\) равен \(\frac{7}{4}\).