(sin75°-cos75°)^2

Чтобы решить выражение \((\sin 75° - \cos 75°)^2\), начнем с использования тригонометрических значений для угла 75°.

Сначала напомним, что: \[ \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° \] Известно, что: \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Подставим значения: \[ \sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь найдем \(\cos 75°\): \[ \cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°. \] Подставляем значения: \[ \cos 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь у нас есть значения для обоих синуса и косинуса: \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) и \(\cos 75° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

Теперь мы можем вычислить \((\sin 75° - \cos 75°)^2\): \[ \sin 75° - \cos 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Теперь возведем в квадрат: \[ (\sin 75° - \cos 75°)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, значение выражения \((\sin 75° - \cos 75°)^2\) равно \(\frac{1}{2}\).