Построить и описать график -4х2-4х+3

Чтобы построить график функции \( y = -4x^2 - 4x + 3 \), сначала нужно определить её основные характеристики: вид функции, вершину параболы, ось симметрии, нули функции и интервалы возрастания/убывания.

1. Вид функции

Данная функция является квадратной (параболой), так как её наивысший член имеет степень 2. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (в данном случае -4), парабола открывается вниз.

2. Вершина параболы

Формула для нахождения \( x \)-координаты вершины квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) - это: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Для нашей функции \( a = -4 \) и \( b = -4 \): \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot -4} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдём соответствующее значение \( y \): \[ y = -4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 \] \[ y = -4\cdot\frac{1}{4} + 2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{2}, 4\right) \).

3. Ось симметрии

Ось симметрии соответствует \( x \)-координате вершины: \[ x = -\frac{1}{2} \]

4. Нули функции

Следует найти значения \( x \), при которых \( y = 0 \): \[ -4x^2 - 4x + 3 = 0 \] Делим уравнение на -1 для упрощения: \[ 4x^2 + 4x - 3 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 4 \), \( b = 4 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8} \] Это даёт два решения: \[ x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \] Таким образом, нули функции находятся в точках \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \).

5. Интервалы возрастания и убывания

Поскольку ветви параболы открываются вниз, функция будет возрастать на интервале от \( -\infty \) до \( -\frac{1}{2} \) и убывать на интервале от \( -\frac{1}{2} \) до \( +\infty \).

Построение графика

1. Наносим точки: вершина \( \left(-\frac{1}{2}, 4\right) \), нули \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \).
2. Рисуем параболу, которая открывается вниз, с учётом интервалов возрастания и убывания.

Описание графика

График функции \( y = -4x^2 - 4x + 3 \) представляет собой параболу, которая достигает максимума в вершине \( \left(-\frac{1}{2}, 4\right) \), пересекает ось \( x \) в точках \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) и \( \left(-\frac{3}{2}, 0\right) \). Функция возрастает на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и убывает на интервале \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).