Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел х1, х2, х3,..., хn, и их среднее арифметическое равно х. Покажите, что сумма всех отклонений равна…
Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел х1, х2, х3,..., хn, и их среднее арифметическое равно х. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: (х1-х) +(х2-х) +(х3-х) +... +(хn-х) =0
Чтобы доказать свойство отклонений от среднего арифметического, давайте рассмотрим набор чисел \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\) и их среднее арифметическое, обозначенное как \(x\). Среднее арифметическое рассчитывается по формуле:
\[ x = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n} \]
Теперь, чтобы доказать, что сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю, давайте запишем сумму отклонений:
\[ (x_1 - x) + (x_2 - x) + (x_3 - x) + \ldots + (x_n - x) \]
Эту сумму можно переписать как:
\[ = (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - nx \]
Теперь подставим выражение для среднего арифметического \(x\):
\[ = (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - n \cdot \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n} \]
Обратите внимание, что \(n\) в знаменателе и числителе взаимно сокращаются:
\[ = (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) = 0 \]
Таким образом, мы доказали, что сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю:
\[ (x_1 - x) + (x_2 - x) + (x_3 - x) + \ldots + (x_n - x) = 0 \]
Это свойство является важным в статистике и показывает, что среднее арифметическое является центральной мерой, вокруг которой отклонения распределяются.
