sin2x-2√3cos²x = 0
Для решения уравнения \( \sin 2x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = 0 \) начнем с применения формулы для синуса двойного угла:
\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]
Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:
\[ 2\sin x \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = 0 \]
Теперь можно упростить уравнение, выделив общий множитель:
\[ 2\cos x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
\( 2\cos x = 0 \)
Это уравнение дает:
\[ \cos x = 0 \]
Решения этого уравнения в интервале \( [0, 2\pi) \):
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\( \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \)
Перепишем его в таком виде:
\[ \sin x = \sqrt{3}\cos x \]
Делая деление на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)), получим:
\[ \tan x = \sqrt{3} \]
Это уравнение имеет решения в интервале \( [0, 2\pi) \):
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Итак, окончательные решения данного уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
где \( k \) — любое целое число.
