||x^2-6x-4|-3=1

Чтобы решить уравнение \( ||x^2 - 6x - 4| - 3 = 1 \), давайте разобьем его на несколько шагов.

1. Сначала рассмотрим внутреннее выражение \( |x^2 - 6x - 4| \). Это абсолютное значение может иметь два случая в зависимости от того, равно ли оно \( 3 + 1 = 4 \) или \( 3 - 1 = 2 \).

2. Распишем два уравнения:

   a) \( |x^2 - 6x - 4| - 3 = 1 \)
   Это упрощается до \( |x^2 - 6x - 4| = 4 \).

   b) \( |x^2 - 6x - 4| - 3 = -1 \)
   Это упрощается до \( |x^2 - 6x - 4| = 2 \).

Теперь решим каждое из этих уравнений по очереди.

Случай 1: \( |x^2 - 6x - 4| = 4 \)

Для этого случая есть два подслучая:

1. \( x^2 - 6x - 4 = 4 \)
   Упростим до:
   \( x^2 - 6x - 8 = 0 \)
   Применим формулу дискримината:
   \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 \).
   Корни уравнения:
   \( x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17} \).

2. \( x^2 - 6x - 4 = -4 \)
   Упростим до:
   \( x^2 - 6x = 0 \)
   \( x(x - 6) = 0 \)
   Это дает корни:
   \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Случай 2: \( |x^2 - 6x - 4| = 2 \)

Для этого случая также есть два подслучая:

1. \( x^2 - 6x - 4 = 2 \)
   Упростим до:
   \( x^2 - 6x - 6 = 0 \)
   Дискриминант:
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60 \).
   Корни:
   \( x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 3 \pm \sqrt{15} \).

2. \( x^2 - 6x - 4 = -2 \)
   Упростим до:
   \( x^2 - 6x - 2 = 0 \)
   Дискриминант:
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44 \).
   Корни:
   \( x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11} \).

Итог:

Соберем все найденные значения \( x \):

1. \( x = 3 + \sqrt{17} \)
2. \( x = 3 - \sqrt{17} \)
3. \( x = 0 \)
4. \( x = 6 \)
5. \( x = 3 + \sqrt{15} \)
6. \( x = 3 - \sqrt{15} \)
7. \( x = 3 + \sqrt{11} \)
8. \( x = 3 - \sqrt{11} \)

Таким образом, у нас есть восемь решений уравнения \( ||x^2 - 6x - 4| - 3 = 1 \).