Решить по теореме виета: x^2-2x-8=0

Для решения уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) с использованием теоремы Виета, сначала найдем корни уравнения.

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

1. Сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
2. Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -8\).

Теперь находим суммы и произведение корней:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2 \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{1} = -8 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

• \(x_1 + x_2 = 2\)
• \(x_1 \cdot x_2 = -8\)

Давайте выразим один из корней через другой, например, \(x_1 = 2 - x_2\), и подставим это в уравнение произведения:

\[ (2 - x_2) \cdot x_2 = -8 \]

Раскроем скобки:

\[ 2x_2 - x_2^2 = -8 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ x_2^2 - 2x_2 - 8 = 0 \]

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Это дает нам два корня:

1. \(x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
2. \(x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) равны \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\).