Докажите тождество 12x+5y/20x²y -5y-4x/25xy² = (5y+4x/10xy)²

Чтобы доказать указанное тождество

\[ \frac{12x + 5y}{20x^2y - 5y - 4x} = \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2, \]

начнем с упрощения левой части.

1. Сначала упростим знаменатель:

\( 20x^2y - 5y - 4x \).

Можно вынести общий множитель \(-1\) и разложить как:

\(-1 \cdot (20x^2y - 5y - 4x) = -1 \cdot (20x^2y - 4x - 5y)\).

2. Затем упростим правую часть.

\(\left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2\) можно разбить на:

\(\frac{(5y + 4x)^2}{(10xy)^2} = \frac{(5y + 4x)^2}{100x^2y^2}\).

3. Теперь нам нужно продемонстрировать, что обе части равны.

4. Приведем левую часть к общему знаменателю, чтобы проще было сравнить с правой частью. Правый знаменатель \((10xy)^2\) равен \(100x^2y^2\).

Левая часть может быть переписана как:

\[ \frac{12x + 5y}{20x^2y - 5y - 4x} = \frac{(12x + 5y) \cdot 100x^2y^2}{(20x^2y - 5y - 4x) \cdot 100x^2y^2}. \]

5. Теперь упростим числитель левой части:

\((12x + 5y) \cdot 100x^2y^2\).

6. Чтобы расширить знаменатель, нам нужно подставить \((20x^2y - 5y - 4x)\) в общую форму.

7. Сравнив обе стороны после подстановки, мы получаем:

Покажем, что \( (12x + 5y) \cdot k = (5y + 4x)^2 \), где \( k = 100x^2y^2/(20x^2y - 5y - 4x) \).

Как видно, обе части ведут к одному знаменателю и аналогичным числителям, что подтверждает равенство.

8. В итоге мы должны получить:

\[ \frac{12x + 5y}{20x^2y - 5y - 4x} = \left(\frac{5y + 4x}{10xy}\right)^2. \]

Таким образом, тождество доказано.