4.3. 1) Длина пути между двумя пристанями по реке равна 60 км. Теплоход проходит этот путь по течению реки и против течения реки за 5,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки, если скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода в стоячей воде.
Решим задачу шаг за шагом, используя обозначения для скорости теплохода в стоячей воде и скорости течения реки.
Обозначим:
- Скорость теплохода в стоячей воде как \( v \) (км/ч).
- Скорость течения реки как \( u \) (км/ч).
По условию задачи мы знаем, что:
- \( u = v - 20 \) (скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода).
- Длина пути между пристанями по реке равна 60 км.
Теперь найдем время, за которое теплоход проходит этот путь по течению и против течения реки.
1. Время в пути по течению:
Скорость по течению будет равна \( v + u = v + (v - 20) = 2v - 20 \).
Время, затраченное на путь по течению:
\[
t_1 = \frac{60}{2v - 20}
\]
2. Время в пути против течения:
Скорость против течения будет равна \( v - u = v - (v - 20) = 20 \).
Время, затраченное на путь против течения:
\[
t_2 = \frac{60}{20} = 3 \text{ ч.}
\]
Теперь мы знаем, что общее время в пути составляет 5.5 ч, то есть: \[ t_1 + t_2 = 5.5 \text{ ч.} \]
Подставим значения: \[ \frac{60}{2v - 20} + 3 = 5.5 \]
Теперь упростим уравнение: \[ \frac{60}{2v - 20} = 5.5 - 3 \] \[ \frac{60}{2v - 20} = 2.5 \]
Теперь перемножим обе стороны на \( 2v - 20 \): \[ 60 = 2.5(2v - 20) \] \[ 60 = 5v - 50 \]
Теперь решим уравнение: \[ 5v = 60 + 50 \] \[ 5v = 110 \] \[ v = \frac{110}{5} = 22 \text{ км/ч.} \]
Теперь найдем скорость течения реки: \[ u = v - 20 = 22 - 20 = 2 \text{ км/ч.} \]
Итак, скорость теплохода в стоячей воде составляет 22 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч.
