Y'=x^4 - 4x^2 найти: y',y =0 y'',y" =0

Давайте разберем ваше уравнение более подробно. У вас есть производная \( y' = x^4 - 4x^2 \).

1. Найдем \( y \) и \( y = 0 \):

Чтобы найти функцию \( y \), нам нужно проинтегрировать \( y' \):

\[ y = \int (x^4 - 4x^2) \, dx \]

Производная \( x^4 \) равна \( \frac{x^5}{5} \), а производная \( -4x^2 \) равна \( -\frac{4x^3}{3} \). Таким образом,

\[ y = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + C \]

где \( C \) – произвольная константа интегрирования.

Чтобы найти, когда \( y' = 0 \), решим уравнение:

\[ x^4 - 4x^2 = 0 \]

Факторизуем:

\[ x^2(x^2 - 4) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два множителя:

1. \( x^2 = 0 \) ⇒ \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 4 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = 2 \) или \( x = -2 \)

Следовательно, \( y' = 0 \) при \( x = 0, 2, -2 \).

2. Найдем \( y'' \) и \( y'' = 0 \):

Теперь найдем вторую производную \( y'' \):

\[ y' = x^4 - 4x^2 \]

Находим производную \( y'' \):

\[ y'' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2) = 4x^3 - 8x \]

Теперь решим уравнение \( y'' = 0 \):

\[ 4x^3 - 8x = 0 \]

Факторизуем:

\[ 4x(x^2 - 2) = 0 \]

Таким образом, у нас есть:

1. \( 4x = 0 \) ⇒ \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 2 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 2 \) ⇒ \( x = \sqrt{2} \) или \( x = -\sqrt{2} \)

Следовательно, \( y'' = 0 \) при \( x = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \).

Теперь у вас есть все нужные результаты: \( y \), критические точки для \( y' \) и \( y'' \). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!