2. Тело, двигаясь с горы с ускорением 0,4 м/с², прошел путь 680 м и развил скорость 38 м/с. Сколько времени двигался поезд и какой была его скорость в начале отсчета?
Для решения данной задачи воспользуемся уравнениями кинематики. У нас есть следующие данные:
- Ускорение \( a = 0.4 \, \text{м/с}^2 \)
- Пройденный путь \( S = 680 \, \text{м} \)
- Конечная скорость \( v = 38 \, \text{м/с} \)
Нам нужно найти время движения \( t \) и начальную скорость \( v_0 \).
- Выразим время через пройденный путь и среднюю скорость.
Сначала используем уравнение для связи пути, начальной и конечной скорости и времени:
\[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]
- Также мы можем воспользоваться уравнением для конечной скорости:
\[ v = v_0 + a t \]
Теперь у нас в системе два уравнения:
- \( 680 = v_0 t + \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot t^2 \)
- \( 38 = v_0 + 0.4 t \)
Теперь выразим \( v_0 \) из второго уравнения:
\[ v_0 = 38 - 0.4t \]
Теперь подставим \( v_0 \) в первое уравнение:
\[ 680 = (38 - 0.4t)t + \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot t^2 \]
Упрощим уравнение:
\[ 680 = 38t - 0.4t^2 + 0.2t^2 \]
Это дает:
\[ 680 = 38t - 0.2t^2 \]
Переносим все в одну часть уравнения:
\[ 0.2t^2 - 38t + 680 = 0 \]
Умножим на 5 для удобства:
\[ t^2 - 190t + 3400 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-190)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3400 = 36100 - 13600 = 22500 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{190 \pm 150}{2} \]
Получаем два возможных значения для \( t \):
- \( t_1 = \frac{340}{2} = 170 \)
- \( t_2 = \frac{40}{2} = 20 \)
Теперь подставим эти значения в уравнение для \( v_0 \).
Для \( t = 20 \):
\[ v_0 = 38 - 0.4 \cdot 20 = 38 - 8 = 30 \, \text{м/с} \]
Для \( t = 170 \):
\[ v_0 = 38 - 0.4 \cdot 170 = 38 - 68 = -30 \, \text{м/с} \quad \text{(недопустимо)} \]
Таким образом, правильные ответы:
- Время движения поезда \( t = 20 \, \text{сек} \)
- Начальная скорость поезда \( v_0 = 30 \, \text{м/с} \)
