x⁴-5x²-36=0
Чтобы решить уравнение \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \), полезно использовать замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать в виде:
\[ y^2 - 5y - 36 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -36 \).
Подставим значения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) \] \[ D = 25 + 144 \] \[ D = 169 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4 \]
Теперь вспомним, что \( y = x^2 \). Для первого корня:
\[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]
Для второго корня:
\[ x^2 = -4 \]
Так как у квадратного корня из отрицательного числа нет действительных решений, получаем:
\[ x = \pm 2i \]
Таким образом, окончательные решения уравнения \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \) следующие:
- Действительные корни: \( x = 3 \) и \( x = -3 \)
- Комплексные корни: \( x = 2i \) и \( x = -2i \)
Если у тебя есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим темам, не стесняйся спрашивать!
