x⁴ =( 2x - 8)²
Для решения уравнения \( x^4 = (2x - 8)^2 \) начнём с раскрытия скобок на правой части уравнения.
- Раскроем квадрат:
\[ (2x - 8)^2 = 4x^2 - 32x + 64 \]
Таким образом, уравнение можно записать как:
\[ x^4 = 4x^2 - 32x + 64 \]
- Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[ x^4 - 4x^2 + 32x - 64 = 0 \]
- Это уравнение являетсяquartic (четвертой степени), и для его решения можно воспользоваться методом подбора корней или численного решения.
Для этого попробуем найти рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Проверим, например, \( x = 4 \):
\[ 4^4 - 4(4^2) + 32(4) - 64 = 256 - 64 + 128 - 64 = 256 - 128 = 128 \, (\text{не корень}) \]
Теперь проверим \( x = 2 \):
\[ 2^4 - 4(2^2) + 32(2) - 64 = 16 - 16 + 64 - 64 = 0 \, (\text{корень}) \]
Значит, \( x = 2 \) – один из корней. Теперь можем разделить полином на \( x - 2 \) с помощью синтетического деления или обычного деления многочленов.
Разделим:
\[ x^4 - 4x^2 + 32x - 64 = (x - 2)(x^3 + 2x^2 + 16x + 32) \]
Теперь нужно решить кубическое уравнение \( x^3 + 2x^2 + 16x + 32 = 0 \). Для этого также можно применять различные методы, включая попытки найти рациональные корни.
Проверим \( x = -2 \):
\[ (-2)^3 + 2(-2)^2 + 16(-2) + 32 = -8 + 8 - 32 + 32 = 0 \, (\text{корень}) \]
Таким образом, \( x = -2 \) также корень. Итак, мы можем снова делить наш многочлен на \( x + 2 \).
Проделаем деление:
\[ x^3 + 2x^2 + 16x + 32 = (x + 2)(x^2 + 16) \]
- Теперь у нас есть:
\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 16) = 0 \]
- Последний множитель \( x^2 + 16 = 0 \) даёт комплексные корни:
\[ x^2 = -16 \Rightarrow x = 4i \quad \text{и} \quad x = -4i \]
Таким образом, уравнение \( x^4 = (2x - 8)^2 \) имеет следующие корни:
\[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = 4i, \quad x = -4i \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше разъяснений, пожалуйста, дайте знать!
