{√x+√y=5 √x×y=4

Давайте решим систему уравнений:

1. \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \)
2. \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 4 \)

Первое уравнение можно переписать так:

\[ \sqrt{y} = 5 - \sqrt{x} \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \sqrt{x} \cdot (5 - \sqrt{x}) = 4 \]

Раскроем скобки:

\[ 5\sqrt{x} - x = 4 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ x - 5\sqrt{x} + 4 = 0 \]

Теперь сделаем зам substitution, положив \( z = \sqrt{x} \), тогда \( x = z^2 \) и уравнение станет:

\[ z^2 - 5z + 4 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Поскольку дискриминант положителен, есть два решения:

\[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Теперь найдем корни:

\[ z_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad z_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Так как мы заменили \( z \) на \( \sqrt{x} \), получаем два значения для \( \sqrt{x} \):

1. \( \sqrt{x} = 4 \) ⇒ \( x = 16 \)
2. \( \sqrt{x} = 1 \) ⇒ \( x = 1 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( \sqrt{y} \) для каждого из значений \( x \).

1. Если \( x = 16 \):

\[ \sqrt{y} = 5 - 4 = 1 \Rightarrow y = 1 \]

2. Если \( x = 1 \):

\[ \sqrt{y} = 5 - 1 = 4 \Rightarrow y = 16 \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \( (x, y) = (16, 1) \)
2. \( (x, y) = (1, 16) \)

Надеюсь, это объяснение помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.