Используя свойство периодичности тригонометрических функций, замените тригонометрическое выражение, равным ему, той же тригонометрической функцией наименьшего положительного…

Давайте рассмотрим периодичность тригонометрических функций. Основные периодические свойства следующие:

1. Для косинуса: \( \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) \) для любого целого \( k \).
2. Для синуса: \( \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) \) для любого целого \( k \).
3. Для тангенса и котангенса: \( \tan(x + \pi k) = \tan(x) \) и \( \cot(x + \pi k) = \cot(x) \) для любого целого \( k \).

С учетом этих свойств, давайте упростим каждое из выражений:

1)

• \( \cos\left(\frac{20\pi}{9}\right) \):

Период косинуса равен \( 2\pi \). Найдём эквивалентный угол в пределах \( [0, 2\pi) \): \[ \frac{20\pi}{9} - 2\pi = \frac{20\pi}{9} - \frac{18\pi}{9} = \frac{2\pi}{9}. \] Таким образом, \( \cos\left(\frac{20\pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) \).

• \( \tan\left(\frac{21\pi}{5}\right) \):

Период тангенса равен \( \pi \). Найдём эквивалентный угол: \[ \frac{21\pi}{5} - 4\pi = \frac{21\pi}{5} - \frac{20\pi}{5} = \frac{\pi}{5}. \] Таким образом, \( \tan\left(\frac{21\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

• \( \sin\left(\frac{23\pi}{7}\right) \):

Период синуса равен \( 2\pi \). Вычтем \( 2\pi \) (или \( \frac{14\pi}{7} \)): \[ \frac{23\pi}{7} - 2\pi = \frac{23\pi}{7} - \frac{14\pi}{7} = \frac{9\pi}{7}. \] Далее, \( \frac{9\pi}{7} - \pi = \frac{9\pi}{7} - \frac{7\pi}{7} = \frac{2\pi}{7} \). Следовательно, \( \sin\left(\frac{23\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) \).

Итак, для первой группы значений мы имеем: \[ \cos\left(\frac{20\pi}{9}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right), \quad \tan\left(\frac{21\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right), \quad \sin\left(\frac{23\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right). \]

• \( \cot\left(\frac{23\pi}{9}\right) \):

Период котангенса равен \( \pi \). Найдём эквивалентный угол: \[ \frac{23\pi}{9} - 2\pi = \frac{23\pi}{9} - \frac{18\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}. \] Таким образом, \( \cot\left(\frac{23\pi}{9}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{9}\right) \).

• \( \tan\left(\frac{41\pi}{5}\right) \):

\nu) \[ \frac{41\pi}{5} - 8\pi = \frac{41\pi}{5} - \frac{40\pi}{5} = \frac{\pi}{5}. \] Следовательно, \( \tan\left(\frac{41\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

• \( \sin\left(\frac{16\pi}{7}\right) \):

Вычтем \( 2\pi \): \[ \frac{16\pi}{7} - 2\pi = \frac{16\pi}{7} - \frac{14\pi}{7} = \frac{2\pi}{7}. \] Так что \( \sin\left(\frac{16\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) \).

Итак, для второй группы значений мы имеем: \[ \cot\left(\frac{23\pi}{9}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{9}\right), \quad \tan\left(\frac{41\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right), \quad \sin\left(\frac{16\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right). \]

Теперь вы имеете эквивалентные тригонометрические функции с наименьшими положительными аргументами для обоих наборов. Успехов в учебе!