найти экстремумы функций у=х^3 -х^2 -х +2 у= (5-4х)×е^х

Чтобы найти экстремумы функций, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим каждую из ваших функций по отдельности.

Функция 1: у = х³ - х² - х + 2

1. Найдём производную функции: \[ у' = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - x + 2) = 3x^2 - 2x - 1 \]

2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} \] \[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]

3. Определим знак производной (используем метод интервалов) и найдем, где функция возрастает и убывает:

   • Для \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( у'(-1) = 3(-1)^2 + 2 - 1 > 0 \) (возрастает).
   • Для \( -\frac{1}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( у'(0) = -1 < 0 \) (убывает).
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( у'(2) = 9 - 4 - 1 > 0 \) (возрастает).

4. Экстремумы:

   • На \( x = -\frac{1}{3} \) минимум (поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательное).
   • На \( x = 1 \) максимум (потому что производная меняет знак с отрицательного на положительный).

Функция 2: у = (5 - 4x) e^x

1. Найдём производную функции (используя правило произведения): \[ у' = (5 - 4x)' \cdot e^x + (5 - 4x) \cdot (e^x)' = -4e^x + (5 - 4x)e^x \] \[ u' = e^x (5 - 4x - 4) = e^x (1 - 4x) \]

2. Приравняем производную к нулю: \[ e^x (1 - 4x) = 0 \] Поскольку \( e^x \) никогда не равен нулю, решение: \[ 1 - 4x = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]

3. Определим знак производной:

   • Для \( x < \frac{1}{4} \) (например, \( x = 0 \)): \( u'(0) = 1 > 0 \) (возрастает).
   • Для \( x > \frac{1}{4} \) (например, \( x = 1 \)): \( u'(1) = e^1 (1 - 4) < 0 \) (убывает).

4. Экстремум:

   • На \( x = \frac{1}{4} \) максимум (так как производная меняет знак с положительного на отрицательный).

Выводы:

• Для функции \( у = х³ - х² - х + 2 \) имеются минимумы и максимумы в точках \( x = -\frac{1}{3} \) и \( x = 1 \).
• Для функции \( у = (5 - 4x)e^x \) есть максимум в точке \( x = \frac{1}{4} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы або если нужны разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!