Найдите значение выражения loga a2/b5, если logab=2.
Для того чтобы найти значение выражения \(\log_a \frac{a^2}{b^5}\), начнем с использования свойств логарифмов.
Сначала применим правило логарифма, которое говорит, что \(\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n\). В нашем случае это будет:
\[ \log_a \frac{a^2}{b^5} = \log_a a^2 - \log_a b^5. \]
Теперь найдем каждый из этих логарифмов по отдельности:
\(\log_a a^2\): по свойству логарифмов \(\log_a a^k = k\), поэтому \(\log_a a^2 = 2\).
\(\log_a b^5\): аналогично, \(\log_a b^k = k \cdot \log_a b\), следовательно, \(\log_a b^5 = 5 \cdot \log_a b\).
Теперь подставим это обратно в наше выражение:
\[ \log_a \frac{a^2}{b^5} = 2 - 5 \cdot \log_a b. \]
У нас есть информация, что \(\log_a b = \frac{1}{2}\) (это следует из \(\log_ab = 2\), которое эквивалентно тому, что \(\log_a b\) равно \(\frac{1}{2}\)). Теперь подставим это значение:
\[ \log_a \frac{a^2}{b^5} = 2 - 5 \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{5}{2} = 2 - 2.5 = -0.5. \]
Таким образом, значение выражения \(\log_a \frac{a^2}{b^5}\) равно \(-0.5\).
