В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg=8/5, ВС=20. Найдите АС

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы имеем прямоугольный треугольник. У нас также есть значение тангенса угла A, которое равно \( \tan A = \frac{8}{5} \), и длину стороны BC, равную 20.

Тангенс угла A в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащей стороны к прилежащей стороне. В нашем случае противолежащая сторона к углу A — это сторона AB, а прилежащая сторона — это сторона AC. То есть:

\[ \tan A = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{5} \]

Для удобства обозначим длину стороны AC как \( x \). Тогда сторона AB может быть выражена как:

\[ AB = \frac{8}{5} \cdot x \]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AC. В нашем случае, стороны треугольника могут быть обусловлены следующим образом:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Подставляя наши выражения, получаем:

\[ \left(\frac{8}{5} \cdot x\right)^2 + x^2 = 20^2 \]

Упрощаем уравнение:

\[ \frac{64}{25}x^2 + x^2 = 400 \]

Соберём подобные слагаемые:

\[ \frac{64}{25}x^2 + \frac{25}{25}x^2 = 400 \]

\[ \frac{89}{25}x^2 = 400 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 25:

\[ 89x^2 = 10000 \]

Разделим на 89:

\[ x^2 = \frac{10000}{89} \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = \sqrt{\frac{10000}{89}} \approx 33.53 \]

Следовательно, длина стороны AC составляет примерно 33.53 единицы.