Из пункта А в пункт В ездили через пункт С, причем участок АС≈13,6 км, СВ≈8,8 км, АСВ≈125 градусов. Затем пункты А и В соединили прямолинейной дорогой. На сколько сократится путь из А и В?
Чтобы определить, на сколько сократится путь из пункта А в пункт В при прямолинейном соединении, нам нужно рассчитать длину прямой дороги АВ и сравнить ее с суммарной длиной маршрута через пункт С.
Суммарный путь через пункт С:
- Длина участка АС = 13,6 км
- Длина участка СВ = 8,8 км
- Суммарный путь через С = АС + СВ = 13,6 км + 8,8 км = 22,4 км
Определение длины прямолинейной дороги АВ: У нас есть треугольник ABC, где угол АСВ = 125 градусов. Мы можем использовать теорему косинусов для расчета длины АВ:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(∠ACB) \]
Подставляем значения: \[ AC = 13,6 \text{ км}, \quad BC = 8,8 \text{ км}, \quad ∠ACB = 125^{\circ} \]
Для начала найдем косинус угла 125 градусов: \[ \cos(125^{\circ}) = -\cos(55^{\circ}) \approx -0.5736 \]
Теперь подставляем все в формулу: \[ AB^2 = (13,6)^2 + (8,8)^2 - 2 \cdot 13,6 \cdot 8,8 \cdot (-0.5736) \]
Рассчитаем каждую часть: \[ (13,6)^2 \approx 184,96 \] \[ (8,8)^2 \approx 77,44 \] \[ -2 \cdot 13,6 \cdot 8,8 \cdot (-0.5736) \approx 2 \cdot 13,6 \cdot 8,8 \cdot 0.5736 \approx 130,10 \]
Сложим все вместе: \[ AB^2 \approx 184,96 + 77,44 + 130,10 \approx 392,50 \] \[ AB \approx \sqrt{392,50} \approx 19,8 \text{ км} \]
Наконец, наход сокращение пути: Сравним суммарный путь через С (22,4 км) и прямой путь (19,8 км):
\[ Сокращение пути = 22,4 \text{ км} - 19,8 \text{ км} = 2,6 \text{ км} \]
Таким образом, путь из А в В сократится на 2,6 км.
