52. Спростити вирази: A 1) sin alpha * sin(alpha + beta) * cos alpha * cos(alpha + beta) 2) (cos(alpha + beta) + cos(alpha - beta))/(cos(alpha - beta) - cos(alpha + beta)) ; 3)…

Давайте упростим предложенные выражения по одному.

1) \( \sin \alpha \cdot \sin(\alpha + \beta) \cdot \cos \alpha \cdot \cos(\alpha + \beta) \)

Мы можем использовать формулы произведения:

\[ \sin \alpha \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - (\alpha + \beta)) - \cos(\alpha + (\alpha + \beta))] \] \[ = \frac{1}{2}[\cos(-\beta) - \cos(2\alpha + \beta)] = \frac{1}{2}[\cos \beta - \cos(2\alpha + \beta)] \]

А для \( \cos \alpha \cos(\alpha + \beta) \):

\[ \cos \alpha \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - (\alpha + \beta)) + \cos(\alpha + (\alpha + \beta))] \] \[ = \frac{1}{2}[\cos(-\beta) + \cos(2\alpha + \beta)] = \frac{1}{2}[\cos \beta + \cos(2\alpha + \beta)] \]

Теперь произведем оба результата:

\[ \frac{1}{4}[\cos \beta - \cos(2\alpha + \beta)][\cos \beta + \cos(2\alpha + \beta)] = \frac{1}{4} (\cos^2 \beta - \cos^2(2\alpha + \beta)) \]

Это выражение уже упрощено.

---

2) \((\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) / (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))\)

Используем формулы суммы и разности косинусов:

\[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \] \[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \]

Поэтому выражение принимает вид:

\[ \frac{2 \cos \alpha \cos \beta}{-2 \sin \alpha \sin \beta} = -\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = -\cot \alpha \cot \beta \]

---

3) \((\sin 11^\circ \cdot \cos 15^\circ + \cos 11^\circ \cdot \sin 15^\circ) / (\sin 18^\circ \cdot \cos 12^\circ + \cos 18^\circ \cdot \sin 12^\circ)\)

Используем формулу суммы синуса:

\[ \sin(11^\circ + 15^\circ) = \sin 26^\circ \] \[ \sin(18^\circ + 12^\circ) = \sin 30^\circ \]

Теперь выражение можно упростить до:

\[ \frac{\sin 26^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sin 26^\circ}{\frac{1}{2}} = 2 \sin 26^\circ \]

---

4) \((\tan 7\alpha - \tan 3\alpha) / (\tan 7\alpha \tan 3\alpha + 1)\)

Используем формулу разности тангенса:

\[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \] Следовательно:

\[ \frac{\tan 7\alpha - \tan 3\alpha}{1 + \tan 7\alpha \tan 3\alpha} = \tan(7\alpha - 3\alpha) = \tan 4\alpha \]

---

5) \(\cos^2 \alpha - 4 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2})\)

Используем идентичность:

\[ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}, \quad \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \]

Подставим:

\[ = \cos^2 \alpha - 4 \cdot \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{4} = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha \]

---

6) \((\sqrt{1 + \cos 8\alpha})!\)

Для упрощения сначала выразим \(1 + \cos 8\alpha\):

\[ 1 + \cos 8\alpha = 2 \cos^2(4\alpha) \]

Таким образом:

\[ \sqrt{1 + \cos 8\alpha} = \sqrt{2 \cos^2(4\alpha)} = \sqrt{2} |\cos(4\alpha)| \]

Таким образом, факториал:

\[ (\sqrt{2} |\cos(4\alpha)|)! \]

Необходимо учесть, что факториал определен только для неотрицательных целых чисел, поэтому нужно рассматривать в зависимости от значения \(|\cos(4\alpha)|\).

---

7) \(\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2 \sin^2 \alpha}\)

Используем формулу для синуса двойного угла:

\[ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \] А также \(1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha\).

В итоге:

\[ \frac{\frac{1}{2} \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2} \tan (2\alpha) \]

---

8) \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x\)

Используем формулу суммы синуса:

\[ \sin x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - x}{2}\right) = 2 \sin(2x) \cos(x) \]

Теперь добавим \(\sin 2x\):

\[ 2 \sin(2x) \cos(x) + \sin 2x = \sin(2x)(2 \cos x + 1) \]

Это финальное упрощение для 8-го пункта.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно подробнее разобрать какой-то пункт, не стесняйтесь спрашивать!