2×|x-4|-|x+5|=x-3
Давайте разберем уравнение 2×|x-4|-|x+5|=x-3 шаг за шагом.
Разделим на случаи: У нас есть два модуля, и нам нужно учесть различные условия для \( x \), чтобы решить это уравнение.
- Случай 1: \( x < -5 \)
- Случай 2: \( -5 \leq x < 4 \)
- Случай 3: \( x \geq 4 \)
Теперь посчитаем в каждом случае.
Случай 1: \( x < -5 \)
В этом интервале \( |x-4| = 4-x \) и \( |x+5| = - (x+5) = -x - 5 \).
Подставим эти значения в уравнение:
\[ 2(4-x) - (-x - 5) = x - 3 \]
Упрощаем:
\[ 8 - 2x + x + 5 = x - 3 \]
\[ 13 - x = x - 3 \]
Добавим \( x \) к обеим сторонам:
\[ 13 = 2x - 3 \]
Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
\[ 16 = 2x \]
Разделим на 2:
\[ x = 8 \]
Однако \( x = 8 \) не подходит для этого случая (\( x < -5 \)), следовательно, решения здесь нет.
Случай 2: \( -5 \leq x < 4 \)
В этом интервале \( |x-4| = 4-x \) и \( |x+5| = x + 5 \).
Подставим в уравнение:
\[ 2(4-x) - (x + 5) = x - 3 \]
Упрощаем:
\[ 8 - 2x - x - 5 = x - 3 \]
\[ 3 - 3x = x - 3 \]
Добавим \( 3x \) к обеим сторонам:
\[ 3 = 4x - 3 \]
Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
\[ 6 = 4x \]
Разделим на 4:
\[ x = \frac{3}{2} \]
Это значение находится в интервале \( -5 \leq x < 4 \), значит, это решение.
Случай 3: \( x \geq 4 \)
В этом интервале \( |x-4| = x - 4 \) и \( |x+5| = x + 5 \).
Подставим в уравнение:
\[ 2(x - 4) - (x + 5) = x - 3 \]
Упрощаем:
\[ 2x - 8 - x - 5 = x - 3 \]
\[ x - 13 = x - 3 \]
Поскольку \( x \) убирается с обеих сторон, у нас получается:
\[ -13 = -3 \]
Это неверное равенство, следовательно, здесь также нет решений.
Заключение
Таким образом, единственное решение уравнения \( 2×|x-4|-|x+5|=x-3 \) находится в интервале \( -5 \leq x < 4 \):
\[ x = \frac{3}{2} \]
Если есть еще какие-либо вопросы или непонятные моменты, дайте знать!
