пусть x1 и x2 корни квадратного x2 -5x+2=0 составте квадратное корнями являются числа 3x1 и 3x2
Чтобы решить задачу, начнем с анализа исходного квадратного уравнения:
Уравнение: \( x^2 - 5x + 2 = 0 \).
Для нахождения корней этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -5, c = 2 \).
Подставляем значения в формулу:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \]
Таким образом, корни \( x_1 \) и \( x_2 \) равны:
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \]
Теперь нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \).
Сначала найдем сумму и произведение новых корней:
- Сумма: \( 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) \).
По свойству корней, сумма корней исходного уравнения \( x_1 + x_2 = 5 \). Соответственно:
\[ 3(x_1 + x_2) = 3 \cdot 5 = 15 \]
- Произведение: \( 3x_1 \cdot 3x_2 = 9(x_1 \cdot x_2) \).
Произведение корней исходного уравнения \( x_1 x_2 = 2 \). Следовательно:
\[ 9(x_1 x_2) = 9 \cdot 2 = 18 \]
Теперь, зная сумму и произведение новых корней, можем составить новое квадратное уравнение:
\[ x^2 - (3x_1 + 3x_2)x + (3x_1 \cdot 3x_2) = 0 \]
Подставляем найденные значения:
\[ x^2 - 15x + 18 = 0 \]
Это и есть искомое квадратное уравнение с корнями \( 3x_1 \) и \( 3x_2 \).
