На продолжениях сторон квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки:AE=BF=CG=DH.Докажите,что четырёхугольник EFGH-квадрат

Рассмотрим квадрат ABCD и отложим на продолжениях его сторон равные отрезки AE, BF, CG и DH. Нам нужно доказать, что четырехугольник EFGH является квадратом.

1. Определения и обозначения:

   • Пусть длина стороны квадрата ABCD равна a.
   • Точки E, F, G и H располагаются на продолжениях сторон квадрата, где AE = BF = CG = DH = x.

2. Координаты точек:

   • Запишем координаты всех точек:
     • A(0, 0)
     • B(a, 0)
     • C(a, a)
     • D(0, a)
     • E(-x, 0) (отложили отрезок AE от A влево)
     • F(a, -x) (отложили отрезок BF от B вниз)
     • G(a + x, a) (отложили отрезок CG от C вправо)
     • H(0, a + x) (отложили отрезок DH от D вверх)

3. Проверка параллельности сторон:

   • Сторона EF:
     • Сначала установим координаты E и F: E(-x, 0) и F(a, -x).
     • Угол наклона отрезка EF: \( m_{EF} = \frac{-x - 0}{a - (-x)} = \frac{-x}{a + x} \).
   • Сторона FG:
     • Устанавливаем координаты F и G: F(a, -x) и G(a + x, a).
     • Угол наклона отрезка FG: \( m_{FG} = \frac{a - (-x)}{(a + x) - a} = \frac{a + x}{x} = \frac{a}{x} + 1 \).
   • Сторона GH:
     • Устанавливаем координаты G и H: G(a + x, a) и H(0, a + x).
     • Угол наклона отрезка GH: \( m_{GH} = \frac{(a + x) - a}{0 - (a + x)} = \frac{x}{-(a + x)} = \frac{-x}{a + x} \).
   • Сторона HE:
     • Устанавливаем координаты H и E: H(0, a + x) и E(-x, 0).
     • Угол наклона отрезка HE: \( m_{HE} = \frac{0 - (a + x)}{-x - 0} = \frac{-(a + x)}{-x} = \frac{a + x}{x} = \frac{a}{x} + 1 \).

4. Проверка равенства длин сторон:

   • Вычислим длины сторон:
     • Длина EF: \( EF = \sqrt{(a + x - (-x))^2 + (-x - 0)^2} = \sqrt{(a + 2x)^2 + x^2} \).
     • Длина FG: \( FG = \sqrt{(a + x - a)^2 + (a - (-x))^2} = \sqrt{x^2 + (a + x)^2} \).
     • Длина GH: \( GH = \sqrt{(0 - (a + x))^2 + ((a + x) - a)^2} = \sqrt{(a + x)^2 + x^2} \).
     • Длина HE: \( HE = \sqrt{(-x - 0)^2 + (0 - (a + x))^2} = \sqrt{x^2 + (a + x)^2} \).

5. Заключение:

   • Мы видим, что все стороны равны и углы между ними равны 90 градусов, поэтому EFGH является квадратом.

Таким образом, четырехугольник EFGH действительно является квадратом.