решите неравенство х²-4/х+1<или =0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x^2 - 4}{x + 1} \leq 0 \), следуем следующим шагам:

1. Найти нули числителя: Для этого решим уравнение \( x^2 - 4 = 0 \). \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 \] Это дает нам два корня: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

2. Определим, где в знаменателе ноль: Рассмотрим \( x + 1 = 0 \), отсюда \( x = -1 \).

3. Построим числовую линию и расположим найденные значения:

   • Корни числителя: \( x = -2 \) и \( x = 2 \)
   • Корень знаменателя: \( x = -1 \)

   На числовой линии получаем следующие промежутки: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, -1) \), \( (-1, 2) \), \( (2, +\infty) \).

4. Определим знак неравенства на каждом промежутке:

   • Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ \frac{(-3)^2 - 4}{-3 + 1} = \frac{9 - 4}{-2} = \frac{5}{-2} < 0 \]
   • Для \( -2 < x < -1 \) (например, \( x = -1.5 \)): \[ \frac{(-1.5)^2 - 4}{-1.5 + 1} = \frac{2.25 - 4}{-0.5} = \frac{-1.75}{-0.5} > 0 \]
   • Для \( -1 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{0^2 - 4}{0 + 1} = \frac{-4}{1} < 0 \]
   • Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ \frac{(3)^2 - 4}{3 + 1} = \frac{9 - 4}{4} = \frac{5}{4} > 0 \]

5. Соберем информацию о знаках:

   • \( (-\infty, -2) \): знак отрицательный
   • \( (-2, -1) \): знак положительный
   • \( (-1, 2) \): знак отрицательный
   • \( (2, +\infty) \): знак положительный

6. Учитывая условия неравенства \( \leq 0 \), выбираем промежутки, где неравенство выполняется:

   • \( x \in (-\infty, -2] \)
   • \( x \in (-1, 2) \)

7. Проверка границ:

   • В точке \( x = -2 \): \[ \frac{(-2)^2 - 4}{-2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0 \]
   • В точке \( x = -1 \) функция не определена, поэтому ее не включаем.

Итак, окончательное решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2) \]