-x²-6x+9>0

Чтобы решить неравенство \(-x^2 - 6x + 9 > 0\), давайте сначала упростим его.

1. Перепишем неравенство в более удобной форме: \(-x^2 - 6x + 9 > 0\) можно умножить на -1, но при этом знак неравенства поменяется на противоположный: \(x^2 + 6x - 9 < 0\).

2. Теперь мы можем найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 6x - 9 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -9\).

3. Рассчитаем: \[ b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72. \] Таким образом, корни будут: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{2}. \]

4. Теперь у нас есть два корня: \[ x_1 = -3 + 3\sqrt{2} \quad \text{и} \quad x_2 = -3 - 3\sqrt{2}. \]

5. Для оценки значений корней:

   • \(-3 + 3\sqrt{2} \approx -3 + 4.24 \approx 1.24\) (примерно).
   • \(-3 - 3\sqrt{2} \approx -3 - 4.24 \approx -7.24\) (примерно).

6. Теперь мы должны определить, где парабола \(y = x^2 + 6x - 9\) находится ниже оси x, то есть в каких интервалах \(y < 0\). Парабола открыта вверх (так как коэффициент перед \(x^2\) положительный), следовательно, она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства \(x^2 + 6x - 9 < 0\): \[ -3 - 3\sqrt{2} < x < -3 + 3\sqrt{2}. \]

Итак, ответом будет интервал: \[ (-3 - 3\sqrt{2}, -3 + 3\sqrt{2}). \]