при делении чисел 84 и 71 на одно и тоже получаются остатки 9 и 21 соответственно. Определите задуманное число

Чтобы решить задачу, давайте обозначим искомое число как \( x \). По условию, при делении 84 на \( x \) остаток равен 9, а при делении 71 на \( x \) остаток равен 21.

Это можно записать в виде уравнений:

1. \( 84 = k_1 \cdot x + 9 \), где \( k_1 \) — коэффициент деления (целая часть).
2. \( 71 = k_2 \cdot x + 21 \), где \( k_2 \) — другой коэффициент деления.

Теперь мы можем преобразовать эти уравнения:

1. Из первого уравнения: \( 84 - 9 = k_1 \cdot x \) ⇒ \( 75 = k_1 \cdot x \).
2. Из второго уравнения: \( 71 - 21 = k_2 \cdot x \) ⇒ \( 50 = k_2 \cdot x \).

Теперь мы имеем два уравнения:

1. \( 75 = k_1 \cdot x \)
2. \( 50 = k_2 \cdot x \)

Теперь выразим \( x \):

Из первого уравнения: \[ x = \frac{75}{k_1} \]

Из второго уравнения: \[ x = \frac{50}{k_2} \]

Так как обе формулы равны, получаем: \[ \frac{75}{k_1} = \frac{50}{k_2} \]

Теперь умножим обе стороны на \( k_1 \cdot k_2 \): \[ 75 \cdot k_2 = 50 \cdot k_1 \]

Это уравнение показывает, что \( k_1 \) и \( k_2 \) должны быть такими числами, которые сохраняют пропорцию между 75 и 50. Мы можем выразить \( k_2 \) через \( k_1 \): \[ k_2 = \frac{50}{75} \cdot k_1 = \frac{2}{3} \cdot k_1 \]

Теперь мы можем подставить \( k_2 \) в одно из уравнений:

Возьмем первое уравнение \( k_1 = \frac{75}{x} \) и подставим его во второе уравнение:

\[ 50 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{75}{x}\right) \cdot x \]

Упрощаем: \[ 50 = \frac{2}{3} \cdot 75 \] \[ 50 = 50 \]

Теперь мы можем найти \( x \). Нужно, чтобы \( x \) делило оба остатка, поэтому возьмем \( 75 \) и \( 50 \) и найдем их НОД (наибольший общий делитель):

\[ \text{НОД}(75, 50) = 25 \]

Теперь проверим:

• \( 84 \div 25\) дает остаток 9, так как \( 84 - 3\cdot25 = 84 - 75 = 9\).
• \( 71 \div 25\) дает остаток 21, так как \( 71 - 2\cdot25 = 71 - 50 = 21\).

Таким образом, задуманное число — это 25.