Вариант №1 Задание 1. а) Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z_{1} = 4 - 2i и z_{2} = 1 + i Изобразить на комплексной плоскости заданные числа z_{1} и…

Вариант №1

Задание 1

а) Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = 4 - 2i и z₂ = 1 + i.

1. Сумма:
   \[ z_1 + z_2 = (4 - 2i) + (1 + i) = (4 + 1) + (-2 + 1)i = 5 - i \]

2. Разность:
   \[ z_1 - z_2 = (4 - 2i) - (1 + i) = (4 - 1) + (-2 - 1)i = 3 - 3i \]

3. Произведение:
   \[ z_1 \cdot z_2 = (4 - 2i)(1 + i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot i - 2i \cdot 1 - 2i \cdot i = 4 + 4i - 2i + 2 = 6 + 2i \]

4. Частное:
   \[ z_1 / z_2 = \frac{4 - 2i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(4 - 2i)(1 - i)}{1^2 + 1^2} = \frac{4 - 4i - 2i + 2}{2} = \frac{6 - 6i}{2} = 3 - 3i \]

5. Изображение на комплексной плоскости:
   Для этого нужно нанести точки (4, -2) для \( z_1 \) и (1, 1) для \( z_2 \), а также результаты: (5, -1) для суммы, (3, -3) для разности, (6, 2) для произведения и (3, -3) для частного.

б) Записать комплексное число z = 1 - √3 * i в тригонометрической форме.

1. Модуль:
   \[ r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

2. Аргумент:
   \[ \theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \text{ (или } 5\frac{\pi}{3}\text{ в положительном направлении)} \]

3. Тригонометрическая форма:
   \[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \]

Задание 2

а) Пример множеств по диаграммам Эйлера.

• Пусть \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
• \( B = \{1, 2\} \)
• \( C = \{2, 3\} \)
• \( D = \{3, 4\} \)
• \( E = \{5\} \)
  В таком случае: \( A \) включает \( B, C, D, E \); \( B \cap C = \{2\} \), \( C \cap D = \{3\} \) и \( E \) отдельно.

б) Характеристическое свойство множеств.

\[ A = \{x \mid x \in A \land (x \in C \land x \in D) \lor (x \in B) \land (x \in C) \land (x \in D) \lor (x \in E)\} \]

Задание 3

а) Перечислить элементы множества X² и отношение R.

1. Множество \( X = \{2, 3, 5, 7\} \).
   Множество \( X^2 = \{(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (5,2), (5,3), (5,5), (5,7), (7,2), (7,3), (7,5), (7,7)\} \).

2. Отношение R:
   \( R = \{(2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3)\} \):

б) Свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности.

• Рефлексивность: Не обладает, так как не все элементы \( (x, x) \) в \( R \).
• Симметричность: Да, так как если \( (x, y) \in R \), то \( (y, x) \in R \).
• Транзитивность: Не обладает, так как не соблюдается транситивность.

Задание 4

а) Является ли соответствие отображением.

• Соответствие \( f: P → A \) является отображением, если каждому человеку соответствует один и только один адрес. Если несколько людей могут иметь один и тот же адрес, это не противоречит определению отображения, но если несколько адресов могут соответствовать одному человеку, то это не является отображением.

б) Сюръективность, инъективность, биективность.

• Если соответствие является отображением, то:
  • Сюръективное: Каждый адрес должен быть занятым хотя бы одним человеком.
  • Инъективное: Если каждому человеку соответствует только один адрес и разные люди не могут иметь один и тот же адрес.
  • Биективное: Если каждый адрес занят только одним человеком и каждый человек имеет один адрес.

---

Вариант №2

Задание 1

а) Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = 2 + 4i и z₂ = 1 - i.

1. Сумма:
   \[ z_1 + z_2 = (2 + 4i) + (1 - i) = (2 + 1) + (4 - 1)i = 3 + 3i \]

2. Разность:
   \[ z_1 - z_2 = (2 + 4i) - (1 - i) = (2 - 1) + (4 + 1)i = 1 + 5i \]

3. Произведение:
   \[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 4i)(1 - i) = 2 - 2i + 4i + 4 = 6 + 2i \]

4. Частное:
   \[ z_1 / z_2 = \frac{2 + 4i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(2 + 4i)(1 + i)}{1^2 + 1^2} = \frac{2 + 2i + 4i - 4}{2} = \frac{-2 + 6i}{2} = -1 + 3i \]

б) Записать z = √3 - i в тригонометрической форме.

1. Модуль:
   \[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

2. Аргумент:
   \[ \theta = \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} \text{ (или } \frac{11\pi}{6} \text{ в положительном направлении)} \]

3. Тригонометрическая форма:
   \[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \]

Задание 2

а) Пример множеств по диаграммам Эйлера.

• Пусть \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
• \( B = \{1, 2\} \)
• \( C = \{2, 3\} \)
• \( D = \{1, 3\} \)
• \( E = \{4\} \)
  В таком случае: \( A \) включает \( B, C, D, E \); \( B \cap C = \{2\} \), \( D \cap C = \{3\} \) и \( E \) подмножество \( A \).

б) Характеристическое свойство множеств.

\[ A = \{x \mid (x \in C) \lor (x \in D) \land (x \in B) \lor (x \in E)\} \]

Задание 3

а) Перечислить элементы множества X² и отношение R.

1. Множество \( X = \{1, 4, 5, 6\} \).
   Множество \( X^2 = \{(1, 1), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (4, 1), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \).

2. Отношение R:
   \( R = \{(1, 1), (1, 5), (4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 4)\} \):

б) Свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности.

• Рефлексивность: Не обладает, так как не все элементы \( (x, x) \) в \( R \).
• Симметричность: Да, так как если \( (x, y) \in R \), то \( (y, x) \in R \).
• Транзитивность: Не обладает, так как не соблюдается транситивность.

Задание 4

а) Является ли соответствие отображением.

• Соответствие \( f: C → R \) является отображением, если каждому автомобилю соответствует один и только один регион. Если один и тот же регион может принадлежать нескольким автомобилям, это не противоречит определению.

б) Сюръективность, инъективность, биективность.

• Если соответствие является отображением, то:
  • Сюръективное: Каждый регион должен иметь хотя бы один зарегистрированный автомобиль.
  • Инъективное: Если каждому автомобилю соответствует только один регион.
  • Биективное: Если каждый автомобиль соответствует только одному региону и наоборот.

Надеюсь, эти объяснения помогут вам с заданиями! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.